Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74290 / 77427
↖ ↑ ↗
← S 31.022340°
E 24.043579°		 ← 261.74 m → S 31.022340°
E 24.046326°		 →
↑
261.72 m
↓
↑
261.72 m
↓
S 31.024694°
E 24.043579°		 ← 261.73 m →
68 502 m²		 S 31.024694°
E 24.046326°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74290 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566791534423828 y=0.590724945068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566791534423828 × 217)
    floor (0.566791534423828 × 131072)
    floor (74290.5)     		tx = 74290
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590724945068359 × 217)
    floor (0.590724945068359 × 131072)
    floor (77427.5)     		ty = 77427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74290 / 77427 ti = "17/74290/77427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74290/77427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74290 ÷ 217
    74290 ÷ 131072     		x = 0.566787719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77427 ÷ 217
    77427 ÷ 131072     		y = 0.590721130371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566787719726562 × 2 - 1) × π
    0.133575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41963962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590721130371094 × 2 - 1) × π
    -0.181442260742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.570017673382088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41963962} λ = 0.41963962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.570017673382088))-π/2
    2×atan(0.565515444040699)-π/2
    2×0.514677172323748-π/2
    1.0293543446475-1.57079632675     		φ = -0.54144198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41963962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.043579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54144198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.022340°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74290 KachelY 77427 0.41963962 -0.54144198 24.043579 -31.022340
    Oben rechts KachelX + 1 74291 KachelY 77427 0.41968756 -0.54144198 24.046326 -31.022340
    Unten links KachelX 74290 KachelY + 1 77428 0.41963962 -0.54148306 24.043579 -31.024694
    Unten rechts KachelX + 1 74291 KachelY + 1 77428 0.41968756 -0.54148306 24.046326 -31.024694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54144198--0.54148306) × R
    4.10800000000267e-05 × 6371000     		dl = 261.72068000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54144198--0.54148306) × R
    4.10800000000267e-05 × 6371000     		dr = 261.72068000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41963962-0.41968756) × cos(-0.54144198) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856966416084117 × 6371000     		do = 261.739601787771m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41963962-0.41968756) × cos(-0.54148306) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.856945243868775 × 6371000     		du = 261.733135248232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54144198)-sin(-0.54148306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856966416084117-0.856945243868775)×R²
    abs(0.41968756-0.41963962)×2.11722153424798e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11722153424798e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11722153424798e-05×40589641000000     		ar = 68501.8203590807m²