Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7429 / 7444
↖ ↑ ↗
← S 81.228267°
E146.469726°		 ← 745.18 m → S 81.228267°
E146.513672°		 →
↑
744.90 m
↓
↑
744.90 m
↓
S 81.234966°
E146.469726°		 ← 744.62 m →
554 874 m²		 S 81.234966°
E146.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90692138671875 y=0.90875244140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90692138671875 × 213)
    floor (0.90692138671875 × 8192)
    floor (7429.5)     		tx = 7429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90875244140625 × 213)
    floor (0.90875244140625 × 8192)
    floor (7444.5)     		ty = 7444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7429 / 7444 ti = "13/7429/7444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7429/7444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7429 ÷ 213
    7429 ÷ 8192     		x = 0.9068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7444 ÷ 213
    7444 ÷ 8192     		y = 0.90869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9068603515625 × 2 - 1) × π
    0.813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55637898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90869140625 × 2 - 1) × π
    -0.8173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56788383884717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55637898} λ = 2.55637898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56788383884717))-π/2
    2×atan(0.0766976784612615)-π/2
    2×0.0765478148227569-π/2
    0.153095629645514-1.57079632675     		φ = -1.41770070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55637898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41770070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.228267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7429 KachelY 7444 2.55637898 -1.41770070 146.469726 -81.228267
    Oben rechts KachelX + 1 7430 KachelY 7444 2.55714597 -1.41770070 146.513672 -81.228267
    Unten links KachelX 7429 KachelY + 1 7445 2.55637898 -1.41781762 146.469726 -81.234966
    Unten rechts KachelX + 1 7430 KachelY + 1 7445 2.55714597 -1.41781762 146.513672 -81.234966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41770070--1.41781762) × R
    0.000116919999999965 × 6371000     		dl = 744.897319999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41770070--1.41781762) × R
    0.000116919999999965 × 6371000     		dr = 744.897319999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55637898-2.55714597) × cos(-1.41770070) × R
    0.000766990000000245 × 0.152498277802654 × 6371000     		do = 745.18181121946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55637898-2.55714597) × cos(-1.41781762) × R
    0.000766990000000245 × 0.152382724287716 × 6371000     		du = 744.617159744083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41770070)-sin(-1.41781762))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152498277802654-0.152382724287716)×R²
    abs(2.55714597-2.55637898)×0.000115553514937361×R²
    0.000766990000000245×0.000115553514937361×6371000²
    0.000766990000000245×0.000115553514937361×40589641000000     		ar = 554873.631036665m²