Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 7429 / 7440
↖ ↑ ↗
← S 81.201420°
E146.469726°		 ← 747.44 m → S 81.201420°
E146.513672°		 →
↑
747.13 m
↓
↑
747.13 m
↓
S 81.208139°
E146.469726°		 ← 746.88 m →
558 225 m²		 S 81.208139°
E146.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90692138671875 y=0.90826416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90692138671875 × 213)
    floor (0.90692138671875 × 8192)
    floor (7429.5)     		tx = 7429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90826416015625 × 213)
    floor (0.90826416015625 × 8192)
    floor (7440.5)     		ty = 7440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7429 / 7440 ti = "13/7429/7440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7429/7440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7429 ÷ 213
    7429 ÷ 8192     		x = 0.9068603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7440 ÷ 213
    7440 ÷ 8192     		y = 0.908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9068603515625 × 2 - 1) × π
    0.813720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55637898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908203125 × 2 - 1) × π
    -0.81640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56481587727148
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55637898} λ = 2.55637898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56481587727148))-π/2
    2×atan(0.0769333453153022)-π/2
    2×0.0767820992516802-π/2
    0.15356419850336-1.57079632675     		φ = -1.41723213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55637898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.469726°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41723213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.201420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7429 KachelY 7440 2.55637898 -1.41723213 146.469726 -81.201420
    Oben rechts KachelX + 1 7430 KachelY 7440 2.55714597 -1.41723213 146.513672 -81.201420
    Unten links KachelX 7429 KachelY + 1 7441 2.55637898 -1.41734940 146.469726 -81.208139
    Unten rechts KachelX + 1 7430 KachelY + 1 7441 2.55714597 -1.41734940 146.513672 -81.208139
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41723213--1.41734940) × R
    0.000117270000000058 × 6371000     		dl = 747.127170000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41723213--1.41734940) × R
    0.000117270000000058 × 6371000     		dr = 747.127170000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55637898-2.55714597) × cos(-1.41723213) × R
    0.000766990000000245 × 0.152961350526349 × 6371000     		do = 747.444612976581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55637898-2.55714597) × cos(-1.41734940) × R
    0.000766990000000245 × 0.152845459488054 × 6371000     		du = 746.878312195582m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41723213)-sin(-1.41734940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152961350526349-0.152845459488054)×R²
    abs(2.55714597-2.55637898)×0.000115891038294985×R²
    0.000766990000000245×0.000115891038294985×6371000²
    0.000766990000000245×0.000115891038294985×40589641000000     		ar = 558224.629713999m²