Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7429 / 5374
↖ ↑ ↗
← N 76.190241°
W 98.382568°		 ← 291.59 m → N 76.190241°
W 98.371582°		 →
↑
291.66 m
↓
↑
291.66 m
↓
N 76.187618°
W 98.382568°		 ← 291.64 m →
85 054 m²		 N 76.187618°
W 98.371582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7429 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226730346679688 y=0.164016723632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226730346679688 × 215)
    floor (0.226730346679688 × 32768)
    floor (7429.5)     		tx = 7429
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164016723632812 × 215)
    floor (0.164016723632812 × 32768)
    floor (5374.5)     		ty = 5374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7429 / 5374 ti = "15/7429/5374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7429/5374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7429 ÷ 215
    7429 ÷ 32768     		x = 0.226715087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5374 ÷ 215
    5374 ÷ 32768     		y = 0.16400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226715087890625 × 2 - 1) × π
    -0.54656982421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.71709974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16400146484375 × 2 - 1) × π
    0.6719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11114105926727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71709974} λ = -1.71709974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11114105926727))-π/2
    2×atan(8.25765838849824)-π/2
    2×1.4502834475521-π/2
    2.9005668951042-1.57079632675     		φ = 1.32977057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71709974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.382568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32977057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.190241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7429 KachelY 5374 -1.71709974 1.32977057 -98.382568 76.190241
    Oben rechts KachelX + 1 7430 KachelY 5374 -1.71690800 1.32977057 -98.371582 76.190241
    Unten links KachelX 7429 KachelY + 1 5375 -1.71709974 1.32972479 -98.382568 76.187618
    Unten rechts KachelX + 1 7430 KachelY + 1 5375 -1.71690800 1.32972479 -98.371582 76.187618
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32977057-1.32972479) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dl = 291.66437999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32977057-1.32972479) × R
    4.57799999999953e-05 × 6371000     		dr = 291.66437999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71709974--1.71690800) × cos(1.32977057) × R
    0.000191739999999996 × 0.238698857727649 × 6371000     		do = 291.588686026029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71709974--1.71690800) × cos(1.32972479) × R
    0.000191739999999996 × 0.238743314144284 × 6371000     		du = 291.642992897187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32977057)-sin(1.32972479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238698857727649-0.238743314144284)×R²
    abs(-1.71690800--1.71709974)×4.44564166352246e-05×R²
    0.000191739999999996×4.44564166352246e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.44564166352246e-05×40589641000000     		ar = 85053.9530293321m²