Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74289 / 76389
↖ ↑ ↗
← S 28.548338°
E 24.040832°		 ← 268.29 m → S 28.548338°
E 24.043579°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
S 28.550751°
E 24.040832°		 ← 268.28 m →
71 977 m²		 S 28.550751°
E 24.043579°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74289 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76389 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566783905029297 y=0.582805633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566783905029297 × 217)
    floor (0.566783905029297 × 131072)
    floor (74289.5)     		tx = 74289
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582805633544922 × 217)
    floor (0.582805633544922 × 131072)
    floor (76389.5)     		ty = 76389
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74289 / 76389 ti = "17/74289/76389"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74289/76389.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74289 ÷ 217
    74289 ÷ 131072     		x = 0.566780090332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76389 ÷ 217
    76389 ÷ 131072     		y = 0.582801818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566780090332031 × 2 - 1) × π
    0.133560180664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41959168
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582801818847656 × 2 - 1) × π
    -0.165603637695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.520259171576469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41959168} λ = 0.41959168}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.520259171576469))-π/2
    2×atan(0.594366485107753)-π/2
    2×0.536266912985151-π/2
    1.0725338259703-1.57079632675     		φ = -0.49826250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41959168} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.040832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49826250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.548338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74289 KachelY 76389 0.41959168 -0.49826250 24.040832 -28.548338
    Oben rechts KachelX + 1 74290 KachelY 76389 0.41963962 -0.49826250 24.043579 -28.548338
    Unten links KachelX 74289 KachelY + 1 76390 0.41959168 -0.49830461 24.040832 -28.550751
    Unten rechts KachelX + 1 74290 KachelY + 1 76390 0.41963962 -0.49830461 24.043579 -28.550751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49826250--0.49830461) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dl = 268.282809999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49826250--0.49830461) × R
    4.21099999999841e-05 × 6371000     		dr = 268.282809999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41959168-0.41963962) × cos(-0.49826250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878414238675165 × 6371000     		do = 268.290318873723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41959168-0.41963962) × cos(-0.49830461) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.878394113526672 × 6371000     		du = 268.284172135352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49826250)-sin(-0.49830461))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878414238675165-0.878394113526672)×R²
    abs(0.41963962-0.41959168)×2.01251484927001e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.01251484927001e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.01251484927001e-05×40589641000000     		ar = 71976.856121678m²