Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74287 / 56382
↖ ↑ ↗
← N 24.372117°
E 24.035339°		 ← 278.21 m → N 24.372117°
E 24.038086°		 →
↑
278.16 m
↓
↑
278.16 m
↓
N 24.369616°
E 24.035339°		 ← 278.21 m →
77 386 m²		 N 24.369616°
E 24.038086°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74287 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566768646240234 y=0.430164337158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566768646240234 × 217)
    floor (0.566768646240234 × 131072)
    floor (74287.5)     		tx = 74287
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430164337158203 × 217)
    floor (0.430164337158203 × 131072)
    floor (56382.5)     		ty = 56382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74287 / 56382 ti = "17/74287/56382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74287/56382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74287 ÷ 217
    74287 ÷ 131072     		x = 0.566764831542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56382 ÷ 217
    56382 ÷ 131072     		y = 0.430160522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566764831542969 × 2 - 1) × π
    0.133529663085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41949581
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430160522460938 × 2 - 1) × π
    0.139678955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.438814379121994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41949581} λ = 0.41949581}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438814379121994))-π/2
    2×atan(1.55086738730231)-π/2
    2×0.998085009676343-π/2
    1.99617001935269-1.57079632675     		φ = 0.42537369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41949581} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.035339°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42537369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.372117°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74287 KachelY 56382 0.41949581 0.42537369 24.035339 24.372117
    Oben rechts KachelX + 1 74288 KachelY 56382 0.41954375 0.42537369 24.038086 24.372117
    Unten links KachelX 74287 KachelY + 1 56383 0.41949581 0.42533003 24.035339 24.369616
    Unten rechts KachelX + 1 74288 KachelY + 1 56383 0.41954375 0.42533003 24.038086 24.369616
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42537369-0.42533003) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dl = 278.157860000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42537369-0.42533003) × R
    4.36600000000009e-05 × 6371000     		dr = 278.157860000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41949581-0.41954375) × cos(0.42537369) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910884589194046 × 6371000     		do = 278.207599709005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41949581-0.41954375) × cos(0.42533003) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910902605113827 × 6371000     		du = 278.213102234636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42537369)-sin(0.42533003))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910884589194046-0.910902605113827)×R²
    abs(0.41954375-0.41949581)×1.80159197810115e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80159197810115e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80159197810115e-05×40589641000000     		ar = 77386.3958684722m²