Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74286 / 76914
↖ ↑ ↗
← S 29.807284°
E 24.032593°		 ← 265.02 m → S 29.807284°
E 24.035339°		 →
↑
265.03 m
↓
↑
265.03 m
↓
S 29.809668°
E 24.032593°		 ← 265.01 m →
70 238 m²		 S 29.809668°
E 24.035339°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74286 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76914 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566761016845703 y=0.586811065673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566761016845703 × 217)
    floor (0.566761016845703 × 131072)
    floor (74286.5)     		tx = 74286
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586811065673828 × 217)
    floor (0.586811065673828 × 131072)
    floor (76914.5)     		ty = 76914
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74286 / 76914 ti = "17/74286/76914"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74286/76914.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74286 ÷ 217
    74286 ÷ 131072     		x = 0.566757202148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76914 ÷ 217
    76914 ÷ 131072     		y = 0.586807250976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566757202148438 × 2 - 1) × π
    0.133514404296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41944787
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586807250976562 × 2 - 1) × π
    -0.173614501953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.545426043876999
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41944787} λ = 0.41944787}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.545426043876999))-π/2
    2×atan(0.579594797915476)-π/2
    2×0.525280536036766-π/2
    1.05056107207353-1.57079632675     		φ = -0.52023525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41944787} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.032593°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52023525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.807284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74286 KachelY 76914 0.41944787 -0.52023525 24.032593 -29.807284
    Oben rechts KachelX + 1 74287 KachelY 76914 0.41949581 -0.52023525 24.035339 -29.807284
    Unten links KachelX 74286 KachelY + 1 76915 0.41944787 -0.52027685 24.032593 -29.809668
    Unten rechts KachelX + 1 74287 KachelY + 1 76915 0.41949581 -0.52027685 24.035339 -29.809668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52023525--0.52027685) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dl = 265.033599999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52023525--0.52027685) × R
    4.1599999999975e-05 × 6371000     		dr = 265.033599999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41944787-0.41949581) × cos(-0.52023525) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867702264612632 × 6371000     		do = 265.018606269122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41944787-0.41949581) × cos(-0.52027685) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.867681585155844 × 6371000     		du = 265.01229023073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52023525)-sin(-0.52027685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867702264612632-0.867681585155844)×R²
    abs(0.41949581-0.41944787)×2.06794567872981e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.06794567872981e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.06794567872981e-05×40589641000000     		ar = 70237.9983153063m²