Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74283 / 77259
↖ ↑ ↗
← S 30.626095°
E 24.024353°		 ← 262.82 m → S 30.626095°
E 24.027100°		 →
↑
262.80 m
↓
↑
262.80 m
↓
S 30.628459°
E 24.024353°		 ← 262.82 m →
69 070 m²		 S 30.628459°
E 24.027100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74283 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77259 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566738128662109 y=0.589443206787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566738128662109 × 217)
    floor (0.566738128662109 × 131072)
    floor (74283.5)     		tx = 74283
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589443206787109 × 217)
    floor (0.589443206787109 × 131072)
    floor (77259.5)     		ty = 77259
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74283 / 77259 ti = "17/74283/77259"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74283/77259.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74283 ÷ 217
    74283 ÷ 131072     		x = 0.566734313964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77259 ÷ 217
    77259 ÷ 131072     		y = 0.589439392089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566734313964844 × 2 - 1) × π
    0.133468627929688 × 3.1415926535     		Λ = 0.41930406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589439392089844 × 2 - 1) × π
    -0.178878784179688 × 3.1415926535     		Φ = -0.561964274245918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41930406} λ = 0.41930406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561964274245918))-π/2
    2×atan(0.570088153843397)-π/2
    2×0.518135062157454-π/2
    1.03627012431491-1.57079632675     		φ = -0.53452620
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41930406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.024353°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53452620 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.626095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74283 KachelY 77259 0.41930406 -0.53452620 24.024353 -30.626095
    Oben rechts KachelX + 1 74284 KachelY 77259 0.41935200 -0.53452620 24.027100 -30.626095
    Unten links KachelX 74283 KachelY + 1 77260 0.41930406 -0.53456745 24.024353 -30.628459
    Unten rechts KachelX + 1 74284 KachelY + 1 77260 0.41935200 -0.53456745 24.027100 -30.628459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53452620--0.53456745) × R
    4.12500000001037e-05 × 6371000     		dl = 262.803750000661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53452620--0.53456745) × R
    4.12500000001037e-05 × 6371000     		dr = 262.803750000661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41930406-0.41935200) × cos(-0.53452620) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.86051009539088 × 6371000     		do = 262.821932662362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41930406-0.41935200) × cos(-0.53456745) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.860489080531569 × 6371000     		du = 262.815514183406m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53452620)-sin(-0.53456745))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86051009539088-0.860489080531569)×R²
    abs(0.41935200-0.41930406)×2.10148593112747e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.10148593112747e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.10148593112747e-05×40589641000000     		ar = 69069.746095726m²