Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74282 / 60907
↖ ↑ ↗
← N 12.610857°
E 24.021606°		 ← 298.06 m → N 12.610857°
E 24.024353°		 →
↑
298.04 m
↓
↑
298.04 m
↓
N 12.608176°
E 24.021606°		 ← 298.06 m →
88 832 m²		 N 12.608176°
E 24.024353°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74282 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566730499267578 y=0.464687347412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566730499267578 × 217)
    floor (0.566730499267578 × 131072)
    floor (74282.5)     		tx = 74282
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464687347412109 × 217)
    floor (0.464687347412109 × 131072)
    floor (60907.5)     		ty = 60907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74282 / 60907 ti = "17/74282/60907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74282/60907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74282 ÷ 217
    74282 ÷ 131072     		x = 0.566726684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60907 ÷ 217
    60907 ÷ 131072     		y = 0.464683532714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566726684570312 × 2 - 1) × π
    0.133453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41925612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464683532714844 × 2 - 1) × π
    0.0706329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.22189990834124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41925612} λ = 0.41925612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.22189990834124))-π/2
    2×atan(1.24844641253809)-π/2
    2×0.895448646797093-π/2
    1.79089729359419-1.57079632675     		φ = 0.22010097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41925612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.021606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22010097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.610857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74282 KachelY 60907 0.41925612 0.22010097 24.021606 12.610857
    Oben rechts KachelX + 1 74283 KachelY 60907 0.41930406 0.22010097 24.024353 12.610857
    Unten links KachelX 74282 KachelY + 1 60908 0.41925612 0.22005419 24.021606 12.608176
    Unten rechts KachelX + 1 74283 KachelY + 1 60908 0.41930406 0.22005419 24.024353 12.608176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22010097-0.22005419) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dl = 298.035379999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22010097-0.22005419) × R
    4.67799999999963e-05 × 6371000     		dr = 298.035379999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41925612-0.41930406) × cos(0.22010097) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975875409710992 × 6371000     		do = 298.057469158587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41925612-0.41930406) × cos(0.22005419) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.975885622034448 × 6371000     		du = 298.060588265036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22010097)-sin(0.22005419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975875409710992-0.975885622034448)×R²
    abs(0.41930406-0.41925612)×1.02123234556606e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02123234556606e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02123234556606e-05×40589641000000     		ar = 88832.135900762m²