Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74281 / 90169
↖ ↑ ↗
← S 55.864523°
E 24.018860°		 ← 171.35 m → S 55.864523°
E 24.021606°		 →
↑
171.38 m
↓
↑
171.38 m
↓
S 55.866065°
E 24.018860°		 ← 171.35 m →
29 366 m²		 S 55.866065°
E 24.021606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74281 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566722869873047 y=0.687938690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566722869873047 × 217)
    floor (0.566722869873047 × 131072)
    floor (74281.5)     		tx = 74281
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687938690185547 × 217)
    floor (0.687938690185547 × 131072)
    floor (90169.5)     		ty = 90169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74281 / 90169 ti = "17/74281/90169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74281/90169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74281 ÷ 217
    74281 ÷ 131072     		x = 0.566719055175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90169 ÷ 217
    90169 ÷ 131072     		y = 0.687934875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566719055175781 × 2 - 1) × π
    0.133438110351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41920819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687934875488281 × 2 - 1) × π
    -0.375869750976562 × 3.1415926535     		Φ = -1.18082964834084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41920819} λ = 0.41920819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.18082964834084))-π/2
    2×atan(0.307023911028728)-π/2
    2×0.297888227542318-π/2
    0.595776455084636-1.57079632675     		φ = -0.97501987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41920819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.018860°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97501987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.864523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74281 KachelY 90169 0.41920819 -0.97501987 24.018860 -55.864523
    Oben rechts KachelX + 1 74282 KachelY 90169 0.41925612 -0.97501987 24.021606 -55.864523
    Unten links KachelX 74281 KachelY + 1 90170 0.41920819 -0.97504677 24.018860 -55.866065
    Unten rechts KachelX + 1 74282 KachelY + 1 90170 0.41925612 -0.97504677 24.021606 -55.866065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97501987--0.97504677) × R
    2.68999999999409e-05 × 6371000     		dl = 171.379899999623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97501987--0.97504677) × R
    2.68999999999409e-05 × 6371000     		dr = 171.379899999623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41920819-0.41925612) × cos(-0.97501987) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.561151607002045 × 6371000     		do = 171.354393852012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41920819-0.41925612) × cos(-0.97504677) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.561129341318287 × 6371000     		du = 171.34759475762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97501987)-sin(-0.97504677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561151607002045-0.561129341318287)×R²
    abs(0.41925612-0.41920819)×2.22656837580715e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.22656837580715e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.22656837580715e-05×40589641000000     		ar = 29366.1162704223m²