Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7428 / 7441
↖ ↑ ↗
← S 81.208139°
E146.425781°		 ← 746.88 m → S 81.208139°
E146.469726°		 →
↑
746.62 m
↓
↑
746.62 m
↓
S 81.214853°
E146.425781°		 ← 746.31 m →
557 421 m²		 S 81.214853°
E146.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90679931640625 y=0.90838623046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90679931640625 × 213)
    floor (0.90679931640625 × 8192)
    floor (7428.5)     		tx = 7428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90838623046875 × 213)
    floor (0.90838623046875 × 8192)
    floor (7441.5)     		ty = 7441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7428 / 7441 ti = "13/7428/7441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7428/7441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7428 ÷ 213
    7428 ÷ 8192     		x = 0.90673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7441 ÷ 213
    7441 ÷ 8192     		y = 0.9083251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90673828125 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55561199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9083251953125 × 2 - 1) × π
    -0.816650390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.56558286766541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55561199} λ = 2.55561199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56558286766541))-π/2
    2×atan(0.0768743608016425)-π/2
    2×0.0767234615333839-π/2
    0.153446923066768-1.57079632675     		φ = -1.41734940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55561199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41734940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.208139°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7428 KachelY 7441 2.55561199 -1.41734940 146.425781 -81.208139
    Oben rechts KachelX + 1 7429 KachelY 7441 2.55637898 -1.41734940 146.469726 -81.208139
    Unten links KachelX 7428 KachelY + 1 7442 2.55561199 -1.41746659 146.425781 -81.214853
    Unten rechts KachelX + 1 7429 KachelY + 1 7442 2.55637898 -1.41746659 146.469726 -81.214853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41734940--1.41746659) × R
    0.0001171900000001 × 6371000     		dl = 746.617490000639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41734940--1.41746659) × R
    0.0001171900000001 × 6371000     		dr = 746.617490000639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55561199-2.55637898) × cos(-1.41734940) × R
    0.000766989999999801 × 0.152845459488054 × 6371000     		do = 746.878312195149m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55561199-2.55637898) × cos(-1.41746659) × R
    0.000766989999999801 × 0.152729645409231 × 6371000     		du = 746.312387476092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41734940)-sin(-1.41746659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152845459488054-0.152729645409231)×R²
    abs(2.55637898-2.55561199)×0.000115814078823301×R²
    0.000766989999999801×0.000115814078823301×6371000²
    0.000766989999999801×0.000115814078823301×40589641000000     		ar = 557421.146777046m²