Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7428 / 7439
↖ ↑ ↗
← S 81.194695°
E146.425781°		 ← 748.01 m → S 81.194695°
E146.469726°		 →
↑
747.76 m
↓
↑
747.76 m
↓
S 81.201420°
E146.425781°		 ← 747.44 m →
559 124 m²		 S 81.201420°
E146.469726°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90679931640625 y=0.90814208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90679931640625 × 213)
    floor (0.90679931640625 × 8192)
    floor (7428.5)     		tx = 7428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90814208984375 × 213)
    floor (0.90814208984375 × 8192)
    floor (7439.5)     		ty = 7439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7428 / 7439 ti = "13/7428/7439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7428/7439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7428 ÷ 213
    7428 ÷ 8192     		x = 0.90673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7439 ÷ 213
    7439 ÷ 8192     		y = 0.9080810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90673828125 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55561199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9080810546875 × 2 - 1) × π
    -0.816162109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.56404888687756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55561199} λ = 2.55561199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56404888687756))-π/2
    2×atan(0.0769923750868714)-π/2
    2×0.0768407814321382-π/2
    0.153681562864276-1.57079632675     		φ = -1.41711476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55561199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41711476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.194695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7428 KachelY 7439 2.55561199 -1.41711476 146.425781 -81.194695
    Oben rechts KachelX + 1 7429 KachelY 7439 2.55637898 -1.41711476 146.469726 -81.194695
    Unten links KachelX 7428 KachelY + 1 7440 2.55561199 -1.41723213 146.425781 -81.201420
    Unten rechts KachelX + 1 7429 KachelY + 1 7440 2.55637898 -1.41723213 146.469726 -81.201420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41711476--1.41723213) × R
    0.000117369999999895 × 6371000     		dl = 747.764269999328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41711476--1.41723213) × R
    0.000117369999999895 × 6371000     		dr = 747.764269999328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55561199-2.55637898) × cos(-1.41711476) × R
    0.000766989999999801 × 0.153077338282503 × 6371000     		do = 748.011386368315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55561199-2.55637898) × cos(-1.41723213) × R
    0.000766989999999801 × 0.152961350526349 × 6371000     		du = 747.444612976149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41711476)-sin(-1.41723213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153077338282503-0.152961350526349)×R²
    abs(2.55637898-2.55561199)×0.000115987756153596×R²
    0.000766989999999801×0.000115987756153596×6371000²
    0.000766989999999801×0.000115987756153596×40589641000000     		ar = 559124.282475569m²