Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7428 / 4940
↖ ↑ ↗
← N 57.938183°
W 16.787109°		 ← 1 296.94 m → N 57.938183°
W 16.765137°		 →
↑
1 297.20 m
↓
↑
1 297.20 m
↓
N 57.926517°
W 16.787109°		 ← 1 297.36 m →
1 682 665 m²		 N 57.926517°
W 16.765137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4940 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453399658203125 y=0.301544189453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453399658203125 × 214)
    floor (0.453399658203125 × 16384)
    floor (7428.5)     		tx = 7428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301544189453125 × 214)
    floor (0.301544189453125 × 16384)
    floor (4940.5)     		ty = 4940
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7428 / 4940 ti = "14/7428/4940"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7428/4940.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7428 ÷ 214
    7428 ÷ 16384     		x = 0.453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4940 ÷ 214
    4940 ÷ 16384     		y = 0.301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29299033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301513671875 × 2 - 1) × π
    0.39697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24712638051538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29299033} λ = -0.29299033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24712638051538))-π/2
    2×atan(3.48032743722042)-π/2
    2×1.291004191481-π/2
    2.582008382962-1.57079632675     		φ = 1.01121206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29299033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01121206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.938183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7428 KachelY 4940 -0.29299033 1.01121206 -16.787109 57.938183
    Oben rechts KachelX + 1 7429 KachelY 4940 -0.29260684 1.01121206 -16.765137 57.938183
    Unten links KachelX 7428 KachelY + 1 4941 -0.29299033 1.01100845 -16.787109 57.926517
    Unten rechts KachelX + 1 7429 KachelY + 1 4941 -0.29260684 1.01100845 -16.765137 57.926517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01121206-1.01100845) × R
    0.000203610000000021 × 6371000     		dl = 1297.19931000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01121206-1.01100845) × R
    0.000203610000000021 × 6371000     		dr = 1297.19931000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29299033--0.29260684) × cos(1.01121206) × R
    0.000383490000000042 × 0.530833919944645 × 6371000     		do = 1296.94128424257m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29299033--0.29260684) × cos(1.01100845) × R
    0.000383490000000042 × 0.531006463501848 × 6371000     		du = 1297.36284521345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01121206)-sin(1.01100845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530833919944645-0.531006463501848)×R²
    abs(-0.29260684--0.29299033)×0.00017254355720342×R²
    0.000383490000000042×0.00017254355720342×6371000²
    0.000383490000000042×0.00017254355720342×40589641000000     		ar = 1682664.76914261m²