Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7428 / 3716
↖ ↑ ↗
← N 69.626510°
W 16.787109°		 ← 850.58 m → N 69.626510°
W 16.765137°		 →
↑
850.72 m
↓
↑
850.72 m
↓
N 69.618860°
W 16.787109°		 ← 850.88 m →
723 732 m²		 N 69.618860°
W 16.765137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453399658203125 y=0.226837158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453399658203125 × 214)
    floor (0.453399658203125 × 16384)
    floor (7428.5)     		tx = 7428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.226837158203125 × 214)
    floor (0.226837158203125 × 16384)
    floor (3716.5)     		ty = 3716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7428 / 3716 ti = "14/7428/3716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7428/3716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7428 ÷ 214
    7428 ÷ 16384     		x = 0.453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3716 ÷ 214
    3716 ÷ 16384     		y = 0.226806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29299033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.226806640625 × 2 - 1) × π
    0.54638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.71652450159497
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29299033} λ = -0.29299033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.71652450159497))-π/2
    2×atan(5.5651531334743)-π/2
    2×1.39300408794162-π/2
    2.78600817588324-1.57079632675     		φ = 1.21521185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29299033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21521185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.626510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7428 KachelY 3716 -0.29299033 1.21521185 -16.787109 69.626510
    Oben rechts KachelX + 1 7429 KachelY 3716 -0.29260684 1.21521185 -16.765137 69.626510
    Unten links KachelX 7428 KachelY + 1 3717 -0.29299033 1.21507832 -16.787109 69.618860
    Unten rechts KachelX + 1 7429 KachelY + 1 3717 -0.29260684 1.21507832 -16.765137 69.618860
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21521185-1.21507832) × R
    0.000133530000000048 × 6371000     		dl = 850.719630000308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21521185-1.21507832) × R
    0.000133530000000048 × 6371000     		dr = 850.719630000308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29299033--0.29260684) × cos(1.21521185) × R
    0.000383490000000042 × 0.348138338448399 × 6371000     		do = 850.576737463248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29299033--0.29260684) × cos(1.21507832) × R
    0.000383490000000042 × 0.348263512130842 × 6371000     		du = 850.88256365551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21521185)-sin(1.21507832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.348138338448399-0.348263512130842)×R²
    abs(-0.29260684--0.29299033)×0.00012517368244247×R²
    0.000383490000000042×0.00012517368244247×6371000²
    0.000383490000000042×0.00012517368244247×40589641000000     		ar = 723732.414628675m²