Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7428 / 10191
↖ ↑ ↗
← S 40.162083°
W 16.787109°		 ← 1 867.16 m → S 40.162083°
W 16.765137°		 →
↑
1 866.96 m
↓
↑
1 866.96 m
↓
S 40.178873°
W 16.787109°		 ← 1 866.70 m →
3 485 480 m²		 S 40.178873°
W 16.765137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7428 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453399658203125 y=0.622039794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453399658203125 × 214)
    floor (0.453399658203125 × 16384)
    floor (7428.5)     		tx = 7428
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622039794921875 × 214)
    floor (0.622039794921875 × 16384)
    floor (10191.5)     		ty = 10191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7428 / 10191 ti = "14/7428/10191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7428/10191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7428 ÷ 214
    7428 ÷ 16384     		x = 0.453369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10191 ÷ 214
    10191 ÷ 16384     		y = 0.62200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.09326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.29299033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.2440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.766606898723938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29299033} λ = -0.29299033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766606898723938))-π/2
    2×atan(0.464586786927602)-π/2
    2×0.434917868670709-π/2
    0.869835737341418-1.57079632675     		φ = -0.70096059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29299033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.787109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70096059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.162083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7428 KachelY 10191 -0.29299033 -0.70096059 -16.787109 -40.162083
    Oben rechts KachelX + 1 7429 KachelY 10191 -0.29260684 -0.70096059 -16.765137 -40.162083
    Unten links KachelX 7428 KachelY + 1 10192 -0.29299033 -0.70125363 -16.787109 -40.178873
    Unten rechts KachelX + 1 7429 KachelY + 1 10192 -0.29260684 -0.70125363 -16.765137 -40.178873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70096059--0.70125363) × R
    0.000293039999999967 × 6371000     		dl = 1866.95783999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70096059--0.70125363) × R
    0.000293039999999967 × 6371000     		dr = 1866.95783999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29299033--0.29260684) × cos(-0.70096059) × R
    0.000383490000000042 × 0.764223005438881 × 6371000     		do = 1867.16094974673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29299033--0.29260684) × cos(-0.70125363) × R
    0.000383490000000042 × 0.764033975868385 × 6371000     		du = 1866.69910990434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70096059)-sin(-0.70125363))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764223005438881-0.764033975868385)×R²
    abs(-0.29260684--0.29299033)×0.000189029570496824×R²
    0.000383490000000042×0.000189029570496824×6371000²
    0.000383490000000042×0.000189029570496824×40589641000000     		ar = 3485479.68085546m²