Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74279 / 56394
↖ ↑ ↗
← N 24.342092°
E 24.013367°		 ← 278.27 m → N 24.342092°
E 24.016113°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
N 24.339589°
E 24.013367°		 ← 278.28 m →
77 440 m²		 N 24.339589°
E 24.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566707611083984 y=0.430255889892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566707611083984 × 217)
    floor (0.566707611083984 × 131072)
    floor (74279.5)     		tx = 74279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430255889892578 × 217)
    floor (0.430255889892578 × 131072)
    floor (56394.5)     		ty = 56394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74279 / 56394 ti = "17/74279/56394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74279/56394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74279 ÷ 217
    74279 ÷ 131072     		x = 0.566703796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56394 ÷ 217
    56394 ÷ 131072     		y = 0.430252075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566703796386719 × 2 - 1) × π
    0.133407592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41911231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430252075195312 × 2 - 1) × π
    0.139495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438239136326553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41911231} λ = 0.41911231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438239136326553))-π/2
    2×atan(1.5499755185562)-π/2
    2×0.99782298869184-π/2
    1.99564597738368-1.57079632675     		φ = 0.42484965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41911231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.013367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42484965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.342092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74279 KachelY 56394 0.41911231 0.42484965 24.013367 24.342092
    Oben rechts KachelX + 1 74280 KachelY 56394 0.41916025 0.42484965 24.016113 24.342092
    Unten links KachelX 74279 KachelY + 1 56395 0.41911231 0.42480597 24.013367 24.339589
    Unten rechts KachelX + 1 74280 KachelY + 1 56395 0.41916025 0.42480597 24.016113 24.339589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42484965-0.42480597) × R
    4.36800000000459e-05 × 6371000     		dl = 278.285280000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42484965-0.42480597) × R
    4.36800000000459e-05 × 6371000     		dr = 278.285280000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41911231-0.41916025) × cos(0.42484965) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911100715086264 × 6371000     		do = 278.273610119891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41911231-0.41916025) × cos(0.42480597) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911118718405584 × 6371000     		du = 278.279108797017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42484965)-sin(0.42480597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911100715086264-0.911118718405584)×R²
    abs(0.41916025-0.41911231)×1.80033193196705e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80033193196705e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80033193196705e-05×40589641000000     		ar = 77440.2146217288m²