Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74279 / 56391
↖ ↑ ↗
← N 24.349599°
E 24.013367°		 ← 278.26 m → N 24.349599°
E 24.016113°		 →
↑
278.22 m
↓
↑
278.22 m
↓
N 24.347097°
E 24.013367°		 ← 278.26 m →
77 418 m²		 N 24.347097°
E 24.016113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74279 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566707611083984 y=0.430233001708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566707611083984 × 217)
    floor (0.566707611083984 × 131072)
    floor (74279.5)     		tx = 74279
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430233001708984 × 217)
    floor (0.430233001708984 × 131072)
    floor (56391.5)     		ty = 56391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74279 / 56391 ti = "17/74279/56391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74279/56391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74279 ÷ 217
    74279 ÷ 131072     		x = 0.566703796386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56391 ÷ 217
    56391 ÷ 131072     		y = 0.430229187011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566703796386719 × 2 - 1) × π
    0.133407592773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41911231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430229187011719 × 2 - 1) × π
    0.139541625976562 × 3.1415926535     		Φ = 0.438382947025414
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41911231} λ = 0.41911231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438382947025414))-π/2
    2×atan(1.55019843764744)-π/2
    2×0.997888499765269-π/2
    1.99577699953054-1.57079632675     		φ = 0.42498067
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41911231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.013367°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42498067 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.349599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74279 KachelY 56391 0.41911231 0.42498067 24.013367 24.349599
    Oben rechts KachelX + 1 74280 KachelY 56391 0.41916025 0.42498067 24.016113 24.349599
    Unten links KachelX 74279 KachelY + 1 56392 0.41911231 0.42493700 24.013367 24.347097
    Unten rechts KachelX + 1 74280 KachelY + 1 56392 0.41916025 0.42493700 24.016113 24.347097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42498067-0.42493700) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dl = 278.221569999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42498067-0.42493700) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dr = 278.221569999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41911231-0.41916025) × cos(0.42498067) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91104670294454 × 6371000     		do = 278.257113421536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41911231-0.41916025) × cos(0.42493700) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91106470735531 × 6371000     		du = 278.262612432019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42498067)-sin(0.42493700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91104670294454-0.91106470735531)×R²
    abs(0.41916025-0.41911231)×1.8004410770045e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.8004410770045e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.8004410770045e-05×40589641000000     		ar = 77417.895943704m²