Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74278 / 78686
↖ ↑ ↗
← S 33.938803°
E 24.010620°		 ← 253.34 m → S 33.938803°
E 24.013367°		 →
↑
253.37 m
↓
↑
253.37 m
↓
S 33.941081°
E 24.010620°		 ← 253.33 m →
64 189 m²		 S 33.941081°
E 24.013367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78686 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566699981689453 y=0.600330352783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566699981689453 × 217)
    floor (0.566699981689453 × 131072)
    floor (74278.5)     		tx = 74278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600330352783203 × 217)
    floor (0.600330352783203 × 131072)
    floor (78686.5)     		ty = 78686
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74278 / 78686 ti = "17/74278/78686"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74278/78686.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74278 ÷ 217
    74278 ÷ 131072     		x = 0.566696166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78686 ÷ 217
    78686 ÷ 131072     		y = 0.600326538085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566696166992188 × 2 - 1) × π
    0.133392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41906438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600326538085938 × 2 - 1) × π
    -0.200653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.630370230003738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41906438} λ = 0.41906438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.630370230003738))-π/2
    2×atan(0.532394656039162)-π/2
    2×0.489226237311338-π/2
    0.978452474622677-1.57079632675     		φ = -0.59234385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41906438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.010620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59234385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.938803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74278 KachelY 78686 0.41906438 -0.59234385 24.010620 -33.938803
    Oben rechts KachelX + 1 74279 KachelY 78686 0.41911231 -0.59234385 24.013367 -33.938803
    Unten links KachelX 74278 KachelY + 1 78687 0.41906438 -0.59238362 24.010620 -33.941081
    Unten rechts KachelX + 1 74279 KachelY + 1 78687 0.41911231 -0.59238362 24.013367 -33.941081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59234385--0.59238362) × R
    3.97699999999945e-05 × 6371000     		dl = 253.374669999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59234385--0.59238362) × R
    3.97699999999945e-05 × 6371000     		dr = 253.374669999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41906438-0.41911231) × cos(-0.59234385) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829634371070134 × 6371000     		do = 253.338835707611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41906438-0.41911231) × cos(-0.59238362) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.829612166540946 × 6371000     		du = 253.332055287503m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59234385)-sin(-0.59238362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.829634371070134-0.829612166540946)×R²
    abs(0.41911231-0.41906438)×2.22045291882189e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.22045291882189e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.22045291882189e-05×40589641000000     		ar = 64188.7849107378m²