Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74278 / 61163
↖ ↑ ↗
← N 11.923790°
E 24.010620°		 ← 298.77 m → N 11.923790°
E 24.013367°		 →
↑
298.80 m
↓
↑
298.80 m
↓
N 11.921103°
E 24.010620°		 ← 298.78 m →
89 274 m²		 N 11.921103°
E 24.013367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566699981689453 y=0.466640472412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566699981689453 × 217)
    floor (0.566699981689453 × 131072)
    floor (74278.5)     		tx = 74278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466640472412109 × 217)
    floor (0.466640472412109 × 131072)
    floor (61163.5)     		ty = 61163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74278 / 61163 ti = "17/74278/61163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74278/61163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74278 ÷ 217
    74278 ÷ 131072     		x = 0.566696166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61163 ÷ 217
    61163 ÷ 131072     		y = 0.466636657714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566696166992188 × 2 - 1) × π
    0.133392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41906438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466636657714844 × 2 - 1) × π
    0.0667266845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.209628062038506
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41906438} λ = 0.41906438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209628062038506))-π/2
    2×atan(1.23321929357559)-π/2
    2×0.889452865055695-π/2
    1.77890573011139-1.57079632675     		φ = 0.20810940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41906438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.010620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20810940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.923790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74278 KachelY 61163 0.41906438 0.20810940 24.010620 11.923790
    Oben rechts KachelX + 1 74279 KachelY 61163 0.41911231 0.20810940 24.013367 11.923790
    Unten links KachelX 74278 KachelY + 1 61164 0.41906438 0.20806250 24.010620 11.921103
    Unten rechts KachelX + 1 74279 KachelY + 1 61164 0.41911231 0.20806250 24.013367 11.921103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20810940-0.20806250) × R
    4.68999999999886e-05 × 6371000     		dl = 298.799899999928m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20810940-0.20806250) × R
    4.68999999999886e-05 × 6371000     		dr = 298.799899999928m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41906438-0.41911231) × cos(0.20810940) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.978423280855155 × 6371000     		do = 298.773319241027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41906438-0.41911231) × cos(0.20806250) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.978432969809798 × 6371000     		du = 298.776277879885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20810940)-sin(0.20806250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978423280855155-0.978432969809798)×R²
    abs(0.41911231-0.41906438)×9.68895464303898e-06×R²
    4.79299999999738e-05×9.68895464303898e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×9.68895464303898e-06×40589641000000     		ar = 89273.8799487355m²