Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74278 / 56825
↖ ↑ ↗
← N 23.259011°
E 24.010620°		 ← 280.54 m → N 23.259011°
E 24.013367°		 →
↑
280.58 m
↓
↑
280.58 m
↓
N 23.256488°
E 24.010620°		 ← 280.55 m →
78 716 m²		 N 23.256488°
E 24.013367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74278 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566699981689453 y=0.433544158935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566699981689453 × 217)
    floor (0.566699981689453 × 131072)
    floor (74278.5)     		tx = 74278
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433544158935547 × 217)
    floor (0.433544158935547 × 131072)
    floor (56825.5)     		ty = 56825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74278 / 56825 ti = "17/74278/56825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74278/56825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74278 ÷ 217
    74278 ÷ 131072     		x = 0.566696166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56825 ÷ 217
    56825 ÷ 131072     		y = 0.433540344238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566696166992188 × 2 - 1) × π
    0.133392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41906438
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.433540344238281 × 2 - 1) × π
    0.132919311523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.417578332590309
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41906438} λ = 0.41906438}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417578332590309))-π/2
    2×atan(1.51828033007159)-π/2
    2×0.98837132323298-π/2
    1.97674264646596-1.57079632675     		φ = 0.40594632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41906438} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.010620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40594632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.259011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74278 KachelY 56825 0.41906438 0.40594632 24.010620 23.259011
    Oben rechts KachelX + 1 74279 KachelY 56825 0.41911231 0.40594632 24.013367 23.259011
    Unten links KachelX 74278 KachelY + 1 56826 0.41906438 0.40590228 24.010620 23.256488
    Unten rechts KachelX + 1 74279 KachelY + 1 56826 0.41911231 0.40590228 24.013367 23.256488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40594632-0.40590228) × R
    4.40400000000229e-05 × 6371000     		dl = 280.578840000146m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40594632-0.40590228) × R
    4.40400000000229e-05 × 6371000     		dr = 280.578840000146m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41906438-0.41911231) × cos(0.40594632) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.918729117850145 × 6371000     		do = 280.544988446676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41906438-0.41911231) × cos(0.40590228) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.918746507842073 × 6371000     		du = 280.550298689913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40594632)-sin(0.40590228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918729117850145-0.918746507842073)×R²
    abs(0.41911231-0.41906438)×1.73899919279075e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.73899919279075e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.73899919279075e-05×40589641000000     		ar = 78715.7324098258m²