Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74276 / 55400
↖ ↑ ↗
← N 26.804461°
E 24.005127°		 ← 272.61 m → N 26.804461°
E 24.007874°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
N 26.802009°
E 24.005127°		 ← 272.61 m →
74 300 m²		 N 26.802009°
E 24.007874°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74276 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566684722900391 y=0.422672271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566684722900391 × 217)
    floor (0.566684722900391 × 131072)
    floor (74276.5)     		tx = 74276
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422672271728516 × 217)
    floor (0.422672271728516 × 131072)
    floor (55400.5)     		ty = 55400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74276 / 55400 ti = "17/74276/55400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74276/55400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74276 ÷ 217
    74276 ÷ 131072     		x = 0.566680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55400 ÷ 217
    55400 ÷ 131072     		y = 0.42266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566680908203125 × 2 - 1) × π
    0.13336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41896850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42266845703125 × 2 - 1) × π
    0.1546630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.485888414548889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41896850} λ = 0.41896850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485888414548889))-π/2
    2×atan(1.62561859070664)-π/2
    2×1.01931121069019-π/2
    2.03862242138037-1.57079632675     		φ = 0.46782609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41896850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.005127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46782609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.804461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74276 KachelY 55400 0.41896850 0.46782609 24.005127 26.804461
    Oben rechts KachelX + 1 74277 KachelY 55400 0.41901644 0.46782609 24.007874 26.804461
    Unten links KachelX 74276 KachelY + 1 55401 0.41896850 0.46778331 24.005127 26.802009
    Unten rechts KachelX + 1 74277 KachelY + 1 55401 0.41901644 0.46778331 24.007874 26.802009
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46782609-0.46778331) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dl = 272.551380000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46782609-0.46778331) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dr = 272.551380000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41896850-0.41901644) × cos(0.46782609) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892550714720881 × 6371000     		do = 272.607962530975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41896850-0.41901644) × cos(0.46778331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892570005417972 × 6371000     		du = 272.613854406409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46782609)-sin(0.46778331))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892550714720881-0.892570005417972)×R²
    abs(0.41901644-0.41896850)×1.92906970912787e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92906970912787e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92906970912787e-05×40589641000000     		ar = 74300.4793175317m²