Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74275 / 55399
↖ ↑ ↗
← N 26.806912°
E 24.002381°		 ← 272.55 m → N 26.806912°
E 24.005127°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
N 26.804461°
E 24.002381°		 ← 272.55 m →
74 301 m²		 N 26.804461°
E 24.005127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74275 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566677093505859 y=0.422664642333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566677093505859 × 217)
    floor (0.566677093505859 × 131072)
    floor (74275.5)     		tx = 74275
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422664642333984 × 217)
    floor (0.422664642333984 × 131072)
    floor (55399.5)     		ty = 55399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74275 / 55399 ti = "17/74275/55399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74275/55399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74275 ÷ 217
    74275 ÷ 131072     		x = 0.566673278808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55399 ÷ 217
    55399 ÷ 131072     		y = 0.422660827636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566673278808594 × 2 - 1) × π
    0.133346557617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.41892057
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422660827636719 × 2 - 1) × π
    0.154678344726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.485936351448509
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41892057} λ = 0.41892057}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485936351448509))-π/2
    2×atan(1.62569651968967)-π/2
    2×1.01933260351591-π/2
    2.03866520703183-1.57079632675     		φ = 0.46786888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41892057} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.002381°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46786888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.806912°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74275 KachelY 55399 0.41892057 0.46786888 24.002381 26.806912
    Oben rechts KachelX + 1 74276 KachelY 55399 0.41896850 0.46786888 24.005127 26.806912
    Unten links KachelX 74275 KachelY + 1 55400 0.41892057 0.46782609 24.002381 26.804461
    Unten rechts KachelX + 1 74276 KachelY + 1 55400 0.41896850 0.46782609 24.005127 26.804461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46786888-0.46782609) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dl = 272.61508999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46786888-0.46782609) × R
    4.27899999999592e-05 × 6371000     		dr = 272.61508999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41892057-0.41896850) × cos(0.46786888) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.892531417880455 × 6371000     		do = 272.545205602921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41892057-0.41896850) × cos(0.46782609) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.892550714720881 × 6371000     		du = 272.551098125286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46786888)-sin(0.46782609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892531417880455-0.892550714720881)×R²
    abs(0.41896850-0.41892057)×1.92968404257865e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92968404257865e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92968404257865e-05×40589641000000     		ar = 74300.7389610457m²