Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74274 / 56388
↖ ↑ ↗
← N 24.357106°
E 23.999634°		 ← 278.24 m → N 24.357106°
E 24.002381°		 →
↑
278.22 m
↓
↑
278.22 m
↓
N 24.354604°
E 23.999634°		 ← 278.25 m →
77 413 m²		 N 24.354604°
E 24.002381°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566669464111328 y=0.430210113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566669464111328 × 217)
    floor (0.566669464111328 × 131072)
    floor (74274.5)     		tx = 74274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430210113525391 × 217)
    floor (0.430210113525391 × 131072)
    floor (56388.5)     		ty = 56388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74274 / 56388 ti = "17/74274/56388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74274/56388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74274 ÷ 217
    74274 ÷ 131072     		x = 0.566665649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56388 ÷ 217
    56388 ÷ 131072     		y = 0.430206298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566665649414062 × 2 - 1) × π
    0.133331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41887263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430206298828125 × 2 - 1) × π
    0.13958740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438526757724274
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41887263} λ = 0.41887263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438526757724274))-π/2
    2×atan(1.55042138879912)-π/2
    2×0.997954006954425-π/2
    1.99590801390885-1.57079632675     		φ = 0.42511169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41887263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.999634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42511169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.357106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74274 KachelY 56388 0.41887263 0.42511169 23.999634 24.357106
    Oben rechts KachelX + 1 74275 KachelY 56388 0.41892057 0.42511169 24.002381 24.357106
    Unten links KachelX 74274 KachelY + 1 56389 0.41887263 0.42506802 23.999634 24.354604
    Unten rechts KachelX + 1 74275 KachelY + 1 56389 0.41892057 0.42506802 24.002381 24.354604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42511169-0.42506802) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dl = 278.221569999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42511169-0.42506802) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dr = 278.221569999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41887263-0.41892057) × cos(0.42511169) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910992675163569 × 6371000     		do = 278.24061194623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41887263-0.41892057) × cos(0.42506802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91101068478692 × 6371000     		du = 278.246112548769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42511169)-sin(0.42506802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910992675163569-0.91101068478692)×R²
    abs(0.41892057-0.41887263)×1.80096233513005e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80096233513005e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80096233513005e-05×40589641000000     		ar = 77413.3050989082m²