Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74273 / 55397
↖ ↑ ↗
← N 26.811815°
E 23.996887°		 ← 272.59 m → N 26.811815°
E 23.999634°		 →
↑
272.55 m
↓
↑
272.55 m
↓
N 26.809364°
E 23.996887°		 ← 272.60 m →
74 296 m²		 N 26.809364°
E 23.999634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566661834716797 y=0.422649383544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566661834716797 × 217)
    floor (0.566661834716797 × 131072)
    floor (74273.5)     		tx = 74273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422649383544922 × 217)
    floor (0.422649383544922 × 131072)
    floor (55397.5)     		ty = 55397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74273 / 55397 ti = "17/74273/55397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74273/55397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74273 ÷ 217
    74273 ÷ 131072     		x = 0.566658020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55397 ÷ 217
    55397 ÷ 131072     		y = 0.422645568847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566658020019531 × 2 - 1) × π
    0.133316040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41882469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422645568847656 × 2 - 1) × π
    0.154708862304688 × 3.1415926535     		Φ = 0.486032225247749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41882469} λ = 0.41882469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.486032225247749))-π/2
    2×atan(1.62585238886319)-π/2
    2×1.01937538777989-π/2
    2.03875077555978-1.57079632675     		φ = 0.46795445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41882469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.996887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46795445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.811815°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74273 KachelY 55397 0.41882469 0.46795445 23.996887 26.811815
    Oben rechts KachelX + 1 74274 KachelY 55397 0.41887263 0.46795445 23.999634 26.811815
    Unten links KachelX 74273 KachelY + 1 55398 0.41882469 0.46791167 23.996887 26.809364
    Unten rechts KachelX + 1 74274 KachelY + 1 55398 0.41887263 0.46791167 23.999634 26.809364
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46795445-0.46791167) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dl = 272.551380000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46795445-0.46791167) × R
    4.278000000002e-05 × 6371000     		dr = 272.551380000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41882469-0.41887263) × cos(0.46795445) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892492823807622 × 6371000     		do = 272.590281156269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41882469-0.41887263) × cos(0.46791167) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892512119405818 × 6371000     		du = 272.596174528627m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46795445)-sin(0.46791167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892492823807622-0.892512119405818)×R²
    abs(0.41887263-0.41882469)×1.9295598196245e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9295598196245e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9295598196245e-05×40589641000000     		ar = 74295.6604384795m²