Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74273 / 53024
↖ ↑ ↗
← N 32.472695°
E 23.996887°		 ← 257.67 m → N 32.472695°
E 23.999634°		 →
↑
257.71 m
↓
↑
257.71 m
↓
N 32.470378°
E 23.996887°		 ← 257.68 m →
66 405 m²		 N 32.470378°
E 23.999634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566661834716797 y=0.404544830322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566661834716797 × 217)
    floor (0.566661834716797 × 131072)
    floor (74273.5)     		tx = 74273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.404544830322266 × 217)
    floor (0.404544830322266 × 131072)
    floor (53024.5)     		ty = 53024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74273 / 53024 ti = "17/74273/53024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74273/53024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74273 ÷ 217
    74273 ÷ 131072     		x = 0.566658020019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53024 ÷ 217
    53024 ÷ 131072     		y = 0.404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566658020019531 × 2 - 1) × π
    0.133316040039062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41882469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.404541015625 × 2 - 1) × π
    0.19091796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.599786488046143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41882469} λ = 0.41882469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.599786488046143))-π/2
    2×atan(1.82172979777511)-π/2
    2×1.06877588595569-π/2
    2.13755177191138-1.57079632675     		φ = 0.56675545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41882469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.996887°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.56675545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.472695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74273 KachelY 53024 0.41882469 0.56675545 23.996887 32.472695
    Oben rechts KachelX + 1 74274 KachelY 53024 0.41887263 0.56675545 23.999634 32.472695
    Unten links KachelX 74273 KachelY + 1 53025 0.41882469 0.56671500 23.996887 32.470378
    Unten rechts KachelX + 1 74274 KachelY + 1 53025 0.41887263 0.56671500 23.999634 32.470378
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.56675545-0.56671500) × R
    4.04500000000807e-05 × 6371000     		dl = 257.706950000514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.56675545-0.56671500) × R
    4.04500000000807e-05 × 6371000     		dr = 257.706950000514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41882469-0.41887263) × cos(0.56675545) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8436474038681 × 6371000     		do = 257.671632625623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41882469-0.41887263) × cos(0.56671500) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.843669120686769 × 6371000     		du = 257.678265501035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.56675545)-sin(0.56671500))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8436474038681-0.843669120686769)×R²
    abs(0.41887263-0.41882469)×2.17168186691374e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.17168186691374e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.17168186691374e-05×40589641000000     		ar = 66404.6252236511m²