Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74272 / 77216
↖ ↑ ↗
← S 30.524413°
E 23.994141°		 ← 263.04 m → S 30.524413°
E 23.996887°		 →
↑
263.12 m
↓
↑
263.12 m
↓
S 30.526779°
E 23.994141°		 ← 263.04 m →
69 212 m²		 S 30.526779°
E 23.996887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77216 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566654205322266 y=0.589115142822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566654205322266 × 217)
    floor (0.566654205322266 × 131072)
    floor (74272.5)     		tx = 74272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589115142822266 × 217)
    floor (0.589115142822266 × 131072)
    floor (77216.5)     		ty = 77216
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74272 / 77216 ti = "17/74272/77216"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74272/77216.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74272 ÷ 217
    74272 ÷ 131072     		x = 0.566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77216 ÷ 217
    77216 ÷ 131072     		y = 0.589111328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589111328125 × 2 - 1) × π
    -0.17822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.559902987562256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41877676} λ = 0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.559902987562256))-π/2
    2×atan(0.57126448092059)-π/2
    2×0.51902240650453-π/2
    1.03804481300906-1.57079632675     		φ = -0.53275151
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53275151 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.524413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74272 KachelY 77216 0.41877676 -0.53275151 23.994141 -30.524413
    Oben rechts KachelX + 1 74273 KachelY 77216 0.41882469 -0.53275151 23.996887 -30.524413
    Unten links KachelX 74272 KachelY + 1 77217 0.41877676 -0.53279281 23.994141 -30.526779
    Unten rechts KachelX + 1 74273 KachelY + 1 77217 0.41882469 -0.53279281 23.996887 -30.526779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53275151--0.53279281) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dl = 263.122300000139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53275151--0.53279281) × R
    4.13000000000219e-05 × 6371000     		dr = 263.122300000139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41877676-0.41882469) × cos(-0.53275151) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.861412826155277 × 6371000     		do = 263.042769262669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41877676-0.41882469) × cos(-0.53279281) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.861391848925677 × 6371000     		du = 263.036363613254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53275151)-sin(-0.53279281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.861412826155277-0.861391848925677)×R²
    abs(0.41882469-0.41877676)×2.09772296003718e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.09772296003718e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.09772296003718e-05×40589641000000     		ar = 69211.5757219622m²