Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74270 / 56390
↖ ↑ ↗
← N 24.352101°
E 23.988647°		 ← 278.25 m → N 24.352101°
E 23.991394°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
N 24.349599°
E 23.988647°		 ← 278.26 m →
77 434 m²		 N 24.349599°
E 23.991394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74270 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566638946533203 y=0.430225372314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566638946533203 × 217)
    floor (0.566638946533203 × 131072)
    floor (74270.5)     		tx = 74270
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430225372314453 × 217)
    floor (0.430225372314453 × 131072)
    floor (56390.5)     		ty = 56390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74270 / 56390 ti = "17/74270/56390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74270/56390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74270 ÷ 217
    74270 ÷ 131072     		x = 0.566635131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56390 ÷ 217
    56390 ÷ 131072     		y = 0.430221557617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566635131835938 × 2 - 1) × π
    0.133270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41868088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430221557617188 × 2 - 1) × π
    0.139556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.438430883925034
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41868088} λ = 0.41868088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438430883925034))-π/2
    2×atan(1.5502727511355)-π/2
    2×0.997910335926618-π/2
    1.99582067185324-1.57079632675     		φ = 0.42502435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41868088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.988647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42502435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.352101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74270 KachelY 56390 0.41868088 0.42502435 23.988647 24.352101
    Oben rechts KachelX + 1 74271 KachelY 56390 0.41872882 0.42502435 23.991394 24.352101
    Unten links KachelX 74270 KachelY + 1 56391 0.41868088 0.42498067 23.988647 24.349599
    Unten rechts KachelX + 1 74271 KachelY + 1 56391 0.41872882 0.42498067 23.991394 24.349599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42502435-0.42498067) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dl = 278.285279999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42502435-0.42498067) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dr = 278.285279999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41868088-0.41872882) × cos(0.42502435) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.911028692672912 × 6371000     		do = 278.251612620996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41868088-0.41872882) × cos(0.42498067) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91104670294454 × 6371000     		du = 278.257113421536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42502435)-sin(0.42498067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911028692672912-0.91104670294454)×R²
    abs(0.41872882-0.41868088)×1.80102716283992e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.80102716283992e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.80102716283992e-05×40589641000000     		ar = 77434.0933369206m²