Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7427 / 7529
↖ ↑ ↗
← S 81.779929°
E146.381836°		 ← 698.65 m → S 81.779929°
E146.425781°		 →
↑
698.39 m
↓
↑
698.39 m
↓
S 81.786210°
E146.381836°		 ← 698.12 m →
487 744 m²		 S 81.786210°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90667724609375 y=0.91912841796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90667724609375 × 213)
    floor (0.90667724609375 × 8192)
    floor (7427.5)     		tx = 7427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91912841796875 × 213)
    floor (0.91912841796875 × 8192)
    floor (7529.5)     		ty = 7529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7427 / 7529 ti = "13/7427/7529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7427/7529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7427 ÷ 213
    7427 ÷ 8192     		x = 0.9066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7529 ÷ 213
    7529 ÷ 8192     		y = 0.9190673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9066162109375 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55484500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9190673828125 × 2 - 1) × π
    -0.838134765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.63307802233044
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55484500} λ = 2.55484500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63307802233044))-π/2
    2×atan(0.0718569442160539)-π/2
    2×0.0717336500915672-π/2
    0.143467300183134-1.57079632675     		φ = -1.42732903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55484500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42732903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.779929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7427 KachelY 7529 2.55484500 -1.42732903 146.381836 -81.779929
    Oben rechts KachelX + 1 7428 KachelY 7529 2.55561199 -1.42732903 146.425781 -81.779929
    Unten links KachelX 7427 KachelY + 1 7530 2.55484500 -1.42743865 146.381836 -81.786210
    Unten rechts KachelX + 1 7428 KachelY + 1 7530 2.55561199 -1.42743865 146.425781 -81.786210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42732903--1.42743865) × R
    0.000109619999999921 × 6371000     		dl = 698.3890199995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42732903--1.42743865) × R
    0.000109619999999921 × 6371000     		dr = 698.3890199995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55484500-2.55561199) × cos(-1.42732903) × R
    0.000766990000000245 × 0.142975641711663 × 6371000     		do = 698.649513857707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55484500-2.55561199) × cos(-1.42743865) × R
    0.000766990000000245 × 0.142867147065974 × 6371000     		du = 698.119355499546m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42732903)-sin(-1.42743865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.142975641711663-0.142867147065974)×R²
    abs(2.55561199-2.55484500)×0.000108494645688934×R²
    0.000766990000000245×0.000108494645688934×6371000²
    0.000766990000000245×0.000108494645688934×40589641000000     		ar = 487744.021407406m²