Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7427 / 7443
↖ ↑ ↗
← S 81.221563°
E146.381836°		 ← 745.75 m → S 81.221563°
E146.425781°		 →
↑
745.47 m
↓
↑
745.47 m
↓
S 81.228267°
E146.381836°		 ← 745.18 m →
555 722 m²		 S 81.228267°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90667724609375 y=0.90863037109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90667724609375 × 213)
    floor (0.90667724609375 × 8192)
    floor (7427.5)     		tx = 7427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90863037109375 × 213)
    floor (0.90863037109375 × 8192)
    floor (7443.5)     		ty = 7443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7427 / 7443 ti = "13/7427/7443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7427/7443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7427 ÷ 213
    7427 ÷ 8192     		x = 0.9066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7443 ÷ 213
    7443 ÷ 8192     		y = 0.9085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9066162109375 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55484500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9085693359375 × 2 - 1) × π
    -0.817138671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.56711684845325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55484500} λ = 2.55484500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56711684845325))-π/2
    2×atan(0.0767565274092813)-π/2
    2×0.0766063193517707-π/2
    0.153212638703541-1.57079632675     		φ = -1.41758369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55484500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41758369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.221563°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7427 KachelY 7443 2.55484500 -1.41758369 146.381836 -81.221563
    Oben rechts KachelX + 1 7428 KachelY 7443 2.55561199 -1.41758369 146.425781 -81.221563
    Unten links KachelX 7427 KachelY + 1 7444 2.55484500 -1.41770070 146.381836 -81.228267
    Unten rechts KachelX + 1 7428 KachelY + 1 7444 2.55561199 -1.41770070 146.425781 -81.228267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41758369--1.41770070) × R
    0.000117009999999862 × 6371000     		dl = 745.47070999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41758369--1.41770070) × R
    0.000117009999999862 × 6371000     		dr = 745.47070999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55484500-2.55561199) × cos(-1.41758369) × R
    0.000766990000000245 × 0.152613918178626 × 6371000     		do = 745.746887140703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55484500-2.55561199) × cos(-1.41770070) × R
    0.000766990000000245 × 0.152498277802654 × 6371000     		du = 745.18181121946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41758369)-sin(-1.41770070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152613918178626-0.152498277802654)×R²
    abs(2.55561199-2.55484500)×0.000115640375972448×R²
    0.000766990000000245×0.000115640375972448×6371000²
    0.000766990000000245×0.000115640375972448×40589641000000     		ar = 555721.838296727m²