Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7427 / 7442
↖ ↑ ↗
← S 81.214853°
E146.381836°		 ← 746.31 m → S 81.214853°
E146.425781°		 →
↑
746.04 m
↓
↑
746.04 m
↓
S 81.221563°
E146.381836°		 ← 745.75 m →
556 571 m²		 S 81.221563°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90667724609375 y=0.90850830078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90667724609375 × 213)
    floor (0.90667724609375 × 8192)
    floor (7427.5)     		tx = 7427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.90850830078125 × 213)
    floor (0.90850830078125 × 8192)
    floor (7442.5)     		ty = 7442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7427 / 7442 ti = "13/7427/7442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7427/7442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7427 ÷ 213
    7427 ÷ 8192     		x = 0.9066162109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7442 ÷ 213
    7442 ÷ 8192     		y = 0.908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9066162109375 × 2 - 1) × π
    0.813232421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55484500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.81689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56634985805933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55484500} λ = 2.55484500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56634985805933))-π/2
    2×atan(0.076815421511193)-π/2
    2×0.0766648682443673-π/2
    0.153329736488735-1.57079632675     		φ = -1.41746659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55484500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.381836°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41746659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.214853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7427 KachelY 7442 2.55484500 -1.41746659 146.381836 -81.214853
    Oben rechts KachelX + 1 7428 KachelY 7442 2.55561199 -1.41746659 146.425781 -81.214853
    Unten links KachelX 7427 KachelY + 1 7443 2.55484500 -1.41758369 146.381836 -81.221563
    Unten rechts KachelX + 1 7428 KachelY + 1 7443 2.55561199 -1.41758369 146.425781 -81.221563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41746659--1.41758369) × R
    0.000117099999999981 × 6371000     		dl = 746.04409999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41746659--1.41758369) × R
    0.000117099999999981 × 6371000     		dr = 746.04409999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55484500-2.55561199) × cos(-1.41746659) × R
    0.000766990000000245 × 0.152729645409231 × 6371000     		do = 746.312387476524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55484500-2.55561199) × cos(-1.41758369) × R
    0.000766990000000245 × 0.152613918178626 × 6371000     		du = 745.746887140703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41746659)-sin(-1.41758369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152729645409231-0.152613918178626)×R²
    abs(2.55561199-2.55484500)×0.000115727230604823×R²
    0.000766990000000245×0.000115727230604823×6371000²
    0.000766990000000245×0.000115727230604823×40589641000000     		ar = 556571.009976416m²