Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7427 / 5702
↖ ↑ ↗
← N 47.901613°
W 16.809082°		 ← 1 637.99 m → N 47.901613°
W 16.787109°		 →
↑
1 638.18 m
↓
↑
1 638.18 m
↓
N 47.886881°
W 16.809082°		 ← 1 638.45 m →
2 683 693 m²		 N 47.886881°
W 16.787109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7427 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.453338623046875 y=0.348052978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.453338623046875 × 214)
    floor (0.453338623046875 × 16384)
    floor (7427.5)     		tx = 7427
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.348052978515625 × 214)
    floor (0.348052978515625 × 16384)
    floor (5702.5)     		ty = 5702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7427 / 5702 ti = "14/7427/5702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7427/5702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7427 ÷ 214
    7427 ÷ 16384     		x = 0.45330810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5702 ÷ 214
    5702 ÷ 16384     		y = 0.3480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45330810546875 × 2 - 1) × π
    -0.0933837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29337383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3480224609375 × 2 - 1) × π
    0.303955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.954903040431519
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29337383} λ = -0.29337383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.954903040431519))-π/2
    2×atan(2.59841862915604)-π/2
    2×1.20341860004615-π/2
    2.40683720009229-1.57079632675     		φ = 0.83604087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29337383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.809082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.83604087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 47.901613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7427 KachelY 5702 -0.29337383 0.83604087 -16.809082 47.901613
    Oben rechts KachelX + 1 7428 KachelY 5702 -0.29299033 0.83604087 -16.787109 47.901613
    Unten links KachelX 7427 KachelY + 1 5703 -0.29337383 0.83578374 -16.809082 47.886881
    Unten rechts KachelX + 1 7428 KachelY + 1 5703 -0.29299033 0.83578374 -16.787109 47.886881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.83604087-0.83578374) × R
    0.00025713000000005 × 6371000     		dl = 1638.17523000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.83604087-0.83578374) × R
    0.00025713000000005 × 6371000     		dr = 1638.17523000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29337383--0.29299033) × cos(0.83604087) × R
    0.000383499999999981 × 0.670405725918612 × 6371000     		do = 1637.98789641376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29337383--0.29299033) × cos(0.83578374) × R
    0.000383499999999981 × 0.670596492856325 × 6371000     		du = 1638.45399317118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.83604087)-sin(0.83578374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670405725918612-0.670596492856325)×R²
    abs(-0.29299033--0.29337383)×0.000190766937712694×R²
    0.000383499999999981×0.000190766937712694×6371000²
    0.000383499999999981×0.000190766937712694×40589641000000     		ar = 2683692.98781266m²