Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74265 / 56446
↖ ↑ ↗
← N 24.211900°
E 23.974915°		 ← 278.50 m → N 24.211900°
E 23.977661°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
N 24.209395°
E 23.974915°		 ← 278.51 m →
77 574 m²		 N 24.209395°
E 23.977661°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566600799560547 y=0.430652618408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566600799560547 × 217)
    floor (0.566600799560547 × 131072)
    floor (74265.5)     		tx = 74265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430652618408203 × 217)
    floor (0.430652618408203 × 131072)
    floor (56446.5)     		ty = 56446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74265 / 56446 ti = "17/74265/56446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74265/56446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74265 ÷ 217
    74265 ÷ 131072     		x = 0.566596984863281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56446 ÷ 217
    56446 ÷ 131072     		y = 0.430648803710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566596984863281 × 2 - 1) × π
    0.133193969726562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41844120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430648803710938 × 2 - 1) × π
    0.138702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.43574641754631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41844120} λ = 0.41844120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43574641754631))-π/2
    2×atan(1.54611667697375)-π/2
    2×0.996686847168424-π/2
    1.99337369433685-1.57079632675     		φ = 0.42257737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41844120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.974915°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42257737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.211900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74265 KachelY 56446 0.41844120 0.42257737 23.974915 24.211900
    Oben rechts KachelX + 1 74266 KachelY 56446 0.41848913 0.42257737 23.977661 24.211900
    Unten links KachelX 74265 KachelY + 1 56447 0.41844120 0.42253365 23.974915 24.209395
    Unten rechts KachelX + 1 74266 KachelY + 1 56447 0.41848913 0.42253365 23.977661 24.209395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42257737-0.42253365) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dl = 278.540120000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42257737-0.42253365) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dr = 278.540120000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41844120-0.41848913) × cos(0.42257737) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.912034959168537 × 6371000     		do = 278.500846562519m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41844120-0.41848913) × cos(0.42253365) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.912052888413815 × 6371000     		du = 278.506321473254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42257737)-sin(0.42253365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912034959168537-0.912052888413815)×R²
    abs(0.41848913-0.41844120)×1.79292452777702e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.79292452777702e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.79292452777702e-05×40589641000000     		ar = 77574.4217251953m²