Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 74262 / 61162
↖ ↑ ↗
← N 11.926478°
E 23.966675°		 ← 298.77 m → N 11.926478°
E 23.969421°		 →
↑
298.86 m
↓
↑
298.86 m
↓
N 11.923790°
E 23.966675°		 ← 298.77 m →
89 292 m²		 N 11.923790°
E 23.969421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566577911376953 y=0.466632843017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566577911376953 × 217)
    floor (0.566577911376953 × 131072)
    floor (74262.5)     		tx = 74262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.466632843017578 × 217)
    floor (0.466632843017578 × 131072)
    floor (61162.5)     		ty = 61162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74262 / 61162 ti = "17/74262/61162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74262/61162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74262 ÷ 217
    74262 ÷ 131072     		x = 0.566574096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61162 ÷ 217
    61162 ÷ 131072     		y = 0.466629028320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566574096679688 × 2 - 1) × π
    0.133148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41829739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.466629028320312 × 2 - 1) × π
    0.066741943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.209675998938126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41829739} λ = 0.41829739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.209675998938126))-π/2
    2×atan(1.23327841170203)-π/2
    2×0.889476316228837-π/2
    1.77895263245767-1.57079632675     		φ = 0.20815631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41829739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.966675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20815631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.926478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74262 KachelY 61162 0.41829739 0.20815631 23.966675 11.926478
    Oben rechts KachelX + 1 74263 KachelY 61162 0.41834532 0.20815631 23.969421 11.926478
    Unten links KachelX 74262 KachelY + 1 61163 0.41829739 0.20810940 23.966675 11.923790
    Unten rechts KachelX + 1 74263 KachelY + 1 61163 0.41834532 0.20810940 23.969421 11.923790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20815631-0.20810940) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dl = 298.863610000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20815631-0.20810940) × R
    4.69100000000111e-05 × 6371000     		dr = 298.863610000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41829739-0.41834532) × cos(0.20815631) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.978413587681798 × 6371000     		do = 298.77035931428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41829739-0.41834532) × cos(0.20810940) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.978423280855155 × 6371000     		du = 298.773319241373m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20815631)-sin(0.20810940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978413587681798-0.978423280855155)×R²
    abs(0.41834532-0.41829739)×9.69317335630659e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.69317335630659e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.69317335630659e-06×40589641000000     		ar = 89292.0304693342m²