Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74262 / 56402
↖ ↑ ↗
← N 24.322071°
E 23.966675°		 ← 278.26 m → N 24.322071°
E 23.969421°		 →
↑
278.29 m
↓
↑
278.29 m
↓
N 24.319568°
E 23.966675°		 ← 278.27 m →
77 436 m²		 N 24.319568°
E 23.969421°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566577911376953 y=0.430316925048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566577911376953 × 217)
    floor (0.566577911376953 × 131072)
    floor (74262.5)     		tx = 74262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430316925048828 × 217)
    floor (0.430316925048828 × 131072)
    floor (56402.5)     		ty = 56402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74262 / 56402 ti = "17/74262/56402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74262/56402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74262 ÷ 217
    74262 ÷ 131072     		x = 0.566574096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56402 ÷ 217
    56402 ÷ 131072     		y = 0.430313110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566574096679688 × 2 - 1) × π
    0.133148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41829739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430313110351562 × 2 - 1) × π
    0.139373779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.437855641129593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41829739} λ = 0.41829739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437855641129593))-π/2
    2×atan(1.5493812243512)-π/2
    2×0.997648273513056-π/2
    1.99529654702611-1.57079632675     		φ = 0.42450022
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41829739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.966675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42450022 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.322071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74262 KachelY 56402 0.41829739 0.42450022 23.966675 24.322071
    Oben rechts KachelX + 1 74263 KachelY 56402 0.41834532 0.42450022 23.969421 24.322071
    Unten links KachelX 74262 KachelY + 1 56403 0.41829739 0.42445654 23.966675 24.319568
    Unten rechts KachelX + 1 74263 KachelY + 1 56403 0.41834532 0.42445654 23.969421 24.319568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42450022-0.42445654) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dl = 278.285279999939m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42450022-0.42445654) × R
    4.36799999999904e-05 × 6371000     		dr = 278.285279999939m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41829739-0.41834532) × cos(0.42450022) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.911244688846108 × 6371000     		do = 278.259528012936m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41829739-0.41834532) × cos(0.42445654) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.911262678257968 × 6371000     		du = 278.26502129626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42450022)-sin(0.42445654))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911244688846108-0.911262678257968)×R²
    abs(0.41834532-0.41829739)×1.79894118600421e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.79894118600421e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.79894118600421e-05×40589641000000     		ar = 77436.2950280081m²