Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74261 / 77110
↖ ↑ ↗
← S 30.273301°
E 23.963928°		 ← 263.78 m → S 30.273301°
E 23.966675°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
S 30.275673°
E 23.963928°		 ← 263.77 m →
69 572 m²		 S 30.275673°
E 23.966675°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566570281982422 y=0.588306427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566570281982422 × 217)
    floor (0.566570281982422 × 131072)
    floor (74261.5)     		tx = 74261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588306427001953 × 217)
    floor (0.588306427001953 × 131072)
    floor (77110.5)     		ty = 77110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74261 / 77110 ti = "17/74261/77110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74261/77110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74261 ÷ 217
    74261 ÷ 131072     		x = 0.566566467285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77110 ÷ 217
    77110 ÷ 131072     		y = 0.588302612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566566467285156 × 2 - 1) × π
    0.133132934570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41824945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588302612304688 × 2 - 1) × π
    -0.176605224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.55482167620253
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41824945} λ = 0.41824945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55482167620253))-π/2
    2×atan(0.574174641070187)-π/2
    2×0.521213779446681-π/2
    1.04242755889336-1.57079632675     		φ = -0.52836877
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41824945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.963928°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52836877 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.273301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74261 KachelY 77110 0.41824945 -0.52836877 23.963928 -30.273301
    Oben rechts KachelX + 1 74262 KachelY 77110 0.41829739 -0.52836877 23.966675 -30.273301
    Unten links KachelX 74261 KachelY + 1 77111 0.41824945 -0.52841017 23.963928 -30.275673
    Unten rechts KachelX + 1 74262 KachelY + 1 77111 0.41829739 -0.52841017 23.966675 -30.275673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52836877--0.52841017) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dl = 263.759399999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52836877--0.52841017) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dr = 263.759399999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41824945-0.41829739) × cos(-0.52836877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863630563374926 × 6371000     		do = 263.775003905231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41824945-0.41829739) × cos(-0.52841017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863609691850194 × 6371000     		du = 263.768629204344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52836877)-sin(-0.52841017))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863630563374926-0.863609691850194)×R²
    abs(0.41829739-0.41824945)×2.0871524732069e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0871524732069e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0871524732069e-05×40589641000000     		ar = 69572.296081299m²