Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7426 / 7523
↖ ↑ ↗
← S 81.742145°
E146.337891°		 ← 701.84 m → S 81.742145°
E146.381836°		 →
↑
701.57 m
↓
↑
701.57 m
↓
S 81.748454°
E146.337891°		 ← 701.31 m →
492 205 m²		 S 81.748454°
E146.381836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7426 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90655517578125 y=0.91839599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90655517578125 × 213)
    floor (0.90655517578125 × 8192)
    floor (7426.5)     		tx = 7426
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91839599609375 × 213)
    floor (0.91839599609375 × 8192)
    floor (7523.5)     		ty = 7523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7426 / 7523 ti = "13/7426/7523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7426/7523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7426 ÷ 213
    7426 ÷ 8192     		x = 0.906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7523 ÷ 213
    7523 ÷ 8192     		y = 0.9183349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906494140625 × 2 - 1) × π
    0.81298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55407801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.836669921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.62847607996692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55407801} λ = 2.55407801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62847607996692))-π/2
    2×atan(0.0721883877889258)-π/2
    2×0.0720633832484109-π/2
    0.144126766496822-1.57079632675     		φ = -1.42666956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55407801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42666956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.742145°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7426 KachelY 7523 2.55407801 -1.42666956 146.337891 -81.742145
    Oben rechts KachelX + 1 7427 KachelY 7523 2.55484500 -1.42666956 146.381836 -81.742145
    Unten links KachelX 7426 KachelY + 1 7524 2.55407801 -1.42677968 146.337891 -81.748454
    Unten rechts KachelX + 1 7427 KachelY + 1 7524 2.55484500 -1.42677968 146.381836 -81.748454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42666956--1.42677968) × R
    0.000110120000000213 × 6371000     		dl = 701.574520001359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42666956--1.42677968) × R
    0.000110120000000213 × 6371000     		dr = 701.574520001359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55407801-2.55484500) × cos(-1.42666956) × R
    0.000766989999999801 × 0.143628305316334 × 6371000     		do = 701.838750182155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55407801-2.55484500) × cos(-1.42677968) × R
    0.000766989999999801 × 0.143519326202442 × 6371000     		du = 701.306224473372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42666956)-sin(-1.42677968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143628305316334-0.143519326202442)×R²
    abs(2.55484500-2.55407801)×0.000108979113892071×R²
    0.000766989999999801×0.000108979113892071×6371000²
    0.000766989999999801×0.000108979113892071×40589641000000     		ar = 492205.38154035m²