Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74257 / 53201
↖ ↑ ↗
← N 32.061628°
E 23.952942°		 ← 258.84 m → N 32.061628°
E 23.955689°		 →
↑
258.79 m
↓
↑
258.79 m
↓
N 32.059301°
E 23.952942°		 ← 258.85 m →
66 986 m²		 N 32.059301°
E 23.955689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 53201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566539764404297 y=0.405895233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566539764404297 × 217)
    floor (0.566539764404297 × 131072)
    floor (74257.5)     		tx = 74257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.405895233154297 × 217)
    floor (0.405895233154297 × 131072)
    floor (53201.5)     		ty = 53201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74257 / 53201 ti = "17/74257/53201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74257/53201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74257 ÷ 217
    74257 ÷ 131072     		x = 0.566535949707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 53201 ÷ 217
    53201 ÷ 131072     		y = 0.405891418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566535949707031 × 2 - 1) × π
    0.133071899414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.41805770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.405891418457031 × 2 - 1) × π
    0.188217163085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.591301656813393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41805770} λ = 0.41805770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.591301656813393))-π/2
    2×atan(1.80633811813157)-π/2
    2×1.065188649094-π/2
    2.130377298188-1.57079632675     		φ = 0.55958097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41805770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.952942°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55958097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 32.061628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74257 KachelY 53201 0.41805770 0.55958097 23.952942 32.061628
    Oben rechts KachelX + 1 74258 KachelY 53201 0.41810564 0.55958097 23.955689 32.061628
    Unten links KachelX 74257 KachelY + 1 53202 0.41805770 0.55954035 23.952942 32.059301
    Unten rechts KachelX + 1 74258 KachelY + 1 53202 0.41810564 0.55954035 23.955689 32.059301
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55958097-0.55954035) × R
    4.06199999999357e-05 × 6371000     		dl = 258.79001999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55958097-0.55954035) × R
    4.06199999999357e-05 × 6371000     		dr = 258.79001999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41805770-0.41810564) × cos(0.55958097) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.847477619576291 × 6371000     		do = 258.841479092657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41805770-0.41810564) × cos(0.55954035) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.84749918123746 × 6371000     		du = 258.848064578975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55958097)-sin(0.55954035))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.847477619576291-0.84749918123746)×R²
    abs(0.41810564-0.41805770)×2.15616611691782e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.15616611691782e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.15616611691782e-05×40589641000000     		ar = 66986.4436894124m²