Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74256 / 60656
↖ ↑ ↗
← N 13.282719°
E 23.950195°		 ← 297.26 m → N 13.282719°
E 23.952942°		 →
↑
297.27 m
↓
↑
297.27 m
↓
N 13.280046°
E 23.950195°		 ← 297.26 m →
88 366 m²		 N 13.280046°
E 23.952942°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60656 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566532135009766 y=0.462772369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566532135009766 × 217)
    floor (0.566532135009766 × 131072)
    floor (74256.5)     		tx = 74256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462772369384766 × 217)
    floor (0.462772369384766 × 131072)
    floor (60656.5)     		ty = 60656
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74256 / 60656 ti = "17/74256/60656"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74256/60656.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74256 ÷ 217
    74256 ÷ 131072     		x = 0.5665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60656 ÷ 217
    60656 ÷ 131072     		y = 0.4627685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5665283203125 × 2 - 1) × π
    0.133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41800976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4627685546875 × 2 - 1) × π
    0.074462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.233932070145874
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41800976} λ = 0.41800976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.233932070145874))-π/2
    2×atan(1.26355865593721)-π/2
    2×0.901311753136556-π/2
    1.80262350627311-1.57079632675     		φ = 0.23182718
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41800976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23182718 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.282719°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74256 KachelY 60656 0.41800976 0.23182718 23.950195 13.282719
    Oben rechts KachelX + 1 74257 KachelY 60656 0.41805770 0.23182718 23.952942 13.282719
    Unten links KachelX 74256 KachelY + 1 60657 0.41800976 0.23178052 23.950195 13.280046
    Unten rechts KachelX + 1 74257 KachelY + 1 60657 0.41805770 0.23178052 23.952942 13.280046
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23182718-0.23178052) × R
    4.66600000000039e-05 × 6371000     		dl = 297.270860000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23182718-0.23178052) × R
    4.66600000000039e-05 × 6371000     		dr = 297.270860000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41800976-0.41805770) × cos(0.23182718) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.973248213931295 × 6371000     		do = 297.255055943449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41800976-0.41805770) × cos(0.23178052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.973258933296395 × 6371000     		du = 297.258329913467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23182718)-sin(0.23178052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973248213931295-0.973258933296395)×R²
    abs(0.41805770-0.41800976)×1.07193650998871e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07193650998871e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07193650998871e-05×40589641000000     		ar = 88365.7527636393m²