Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74255 / 77471
↖ ↑ ↗
← S 31.125848°
E 23.947449°		 ← 261.40 m → S 31.125848°
E 23.950195°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
S 31.128199°
E 23.947449°		 ← 261.39 m →
68 346 m²		 S 31.128199°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77471 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566524505615234 y=0.591060638427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566524505615234 × 217)
    floor (0.566524505615234 × 131072)
    floor (74255.5)     		tx = 74255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591060638427734 × 217)
    floor (0.591060638427734 × 131072)
    floor (77471.5)     		ty = 77471
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74255 / 77471 ti = "17/74255/77471"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74255/77471.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74255 ÷ 217
    74255 ÷ 131072     		x = 0.566520690917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77471 ÷ 217
    77471 ÷ 131072     		y = 0.591056823730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566520690917969 × 2 - 1) × π
    0.133041381835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.41796183
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591056823730469 × 2 - 1) × π
    -0.182113647460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.57212689696537
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41796183} λ = 0.41796183}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.57212689696537))-π/2
    2×atan(0.564323902584834)-π/2
    2×0.513773896964254-π/2
    1.02754779392851-1.57079632675     		φ = -0.54324853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41796183} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.947449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54324853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.125848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74255 KachelY 77471 0.41796183 -0.54324853 23.947449 -31.125848
    Oben rechts KachelX + 1 74256 KachelY 77471 0.41800976 -0.54324853 23.950195 -31.125848
    Unten links KachelX 74255 KachelY + 1 77472 0.41796183 -0.54328957 23.947449 -31.128199
    Unten rechts KachelX + 1 74256 KachelY + 1 77472 0.41800976 -0.54328957 23.950195 -31.128199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54324853--0.54328957) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dl = 261.465840000304m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54324853--0.54328957) × R
    4.10400000000477e-05 × 6371000     		dr = 261.465840000304m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41796183-0.41800976) × cos(-0.54324853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.856033972435205 × 6371000     		do = 261.400271571938m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41796183-0.41800976) × cos(-0.54328957) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.856012757335308 × 6371000     		du = 261.393793285967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54324853)-sin(-0.54328957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856033972435205-0.856012757335308)×R²
    abs(0.41800976-0.41796183)×2.12150998967209e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.12150998967209e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.12150998967209e-05×40589641000000     		ar = 68346.3946672155m²