Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74254 / 77116
↖ ↑ ↗
← S 30.287532°
E 23.944702°		 ← 263.74 m → S 30.287532°
E 23.947449°		 →
↑
263.70 m
↓
↑
263.70 m
↓
S 30.289903°
E 23.944702°		 ← 263.73 m →
69 545 m²		 S 30.289903°
E 23.947449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566516876220703 y=0.588352203369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566516876220703 × 217)
    floor (0.566516876220703 × 131072)
    floor (74254.5)     		tx = 74254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588352203369141 × 217)
    floor (0.588352203369141 × 131072)
    floor (77116.5)     		ty = 77116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74254 / 77116 ti = "17/74254/77116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74254/77116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74254 ÷ 217
    74254 ÷ 131072     		x = 0.566513061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77116 ÷ 217
    77116 ÷ 131072     		y = 0.588348388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566513061523438 × 2 - 1) × π
    0.133026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41791389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588348388671875 × 2 - 1) × π
    -0.17669677734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.55510929760025
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41791389} λ = 0.41791389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55510929760025))-π/2
    2×atan(0.574009519904716)-π/2
    2×0.521089589136772-π/2
    1.04217917827354-1.57079632675     		φ = -0.52861715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41791389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.944702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52861715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.287532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74254 KachelY 77116 0.41791389 -0.52861715 23.944702 -30.287532
    Oben rechts KachelX + 1 74255 KachelY 77116 0.41796183 -0.52861715 23.947449 -30.287532
    Unten links KachelX 74254 KachelY + 1 77117 0.41791389 -0.52865854 23.944702 -30.289903
    Unten rechts KachelX + 1 74255 KachelY + 1 77117 0.41796183 -0.52865854 23.947449 -30.289903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52861715--0.52865854) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dl = 263.695690000191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52861715--0.52865854) × R
    4.139000000003e-05 × 6371000     		dr = 263.695690000191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41791389-0.41796183) × cos(-0.52861715) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863505322111156 × 6371000     		do = 263.736751999565m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41791389-0.41796183) × cos(-0.52865854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.863484446750276 × 6371000     		du = 263.730376127021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52861715)-sin(-0.52865854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863505322111156-0.863484446750276)×R²
    abs(0.41796183-0.41791389)×2.0875360880579e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.0875360880579e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.0875360880579e-05×40589641000000     		ar = 69545.4041617217m²