Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74252 / 78332
↖ ↑ ↗
← S 33.128351°
E 23.939209°		 ← 255.72 m → S 33.128351°
E 23.941955°		 →
↑
255.80 m
↓
↑
255.80 m
↓
S 33.130651°
E 23.939209°		 ← 255.72 m →
65 412 m²		 S 33.130651°
E 23.941955°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78332 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566501617431641 y=0.597629547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566501617431641 × 217)
    floor (0.566501617431641 × 131072)
    floor (74252.5)     		tx = 74252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597629547119141 × 217)
    floor (0.597629547119141 × 131072)
    floor (78332.5)     		ty = 78332
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74252 / 78332 ti = "17/74252/78332"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74252/78332.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74252 ÷ 217
    74252 ÷ 131072     		x = 0.566497802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78332 ÷ 217
    78332 ÷ 131072     		y = 0.597625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566497802734375 × 2 - 1) × π
    0.13299560546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41781802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597625732421875 × 2 - 1) × π
    -0.19525146484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.613400567538239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41781802} λ = 0.41781802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.613400567538239))-π/2
    2×atan(0.541506305805761)-π/2
    2×0.496298761379311-π/2
    0.992597522758621-1.57079632675     		φ = -0.57819880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41781802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.939209°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57819880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.128351°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74252 KachelY 78332 0.41781802 -0.57819880 23.939209 -33.128351
    Oben rechts KachelX + 1 74253 KachelY 78332 0.41786595 -0.57819880 23.941955 -33.128351
    Unten links KachelX 74252 KachelY + 1 78333 0.41781802 -0.57823895 23.939209 -33.130651
    Unten rechts KachelX + 1 74253 KachelY + 1 78333 0.41786595 -0.57823895 23.941955 -33.130651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57819880--0.57823895) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dl = 255.795650000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57819880--0.57823895) × R
    4.01500000000166e-05 × 6371000     		dr = 255.795650000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41781802-0.41786595) × cos(-0.57819880) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837448393219904 × 6371000     		do = 255.724941373728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41781802-0.41786595) × cos(-0.57823895) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.837426449910971 × 6371000     		du = 255.718240720368m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57819880)-sin(-0.57823895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.837448393219904-0.837426449910971)×R²
    abs(0.41786595-0.41781802)×2.19433089326815e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19433089326815e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19433089326815e-05×40589641000000     		ar = 65412.4706098624m²