Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74251 / 55193
↖ ↑ ↗
← N 27.310774°
E 23.936462°		 ← 271.38 m → N 27.310774°
E 23.939209°		 →
↑
271.34 m
↓
↑
271.34 m
↓
N 27.308333°
E 23.936462°		 ← 271.39 m →
73 637 m²		 N 27.308333°
E 23.939209°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566493988037109 y=0.421092987060547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566493988037109 × 217)
    floor (0.566493988037109 × 131072)
    floor (74251.5)     		tx = 74251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.421092987060547 × 217)
    floor (0.421092987060547 × 131072)
    floor (55193.5)     		ty = 55193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74251 / 55193 ti = "17/74251/55193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74251/55193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74251 ÷ 217
    74251 ÷ 131072     		x = 0.566490173339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55193 ÷ 217
    55193 ÷ 131072     		y = 0.421089172363281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566490173339844 × 2 - 1) × π
    0.132980346679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.41777008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.421089172363281 × 2 - 1) × π
    0.157821655273438 × 3.1415926535     		Φ = 0.495811352770241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41777008} λ = 0.41777008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.495811352770241))-π/2
    2×atan(1.64182980195846)-π/2
    2×1.02372962283101-π/2
    2.04745924566202-1.57079632675     		φ = 0.47666292
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41777008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.936462°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47666292 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.310774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74251 KachelY 55193 0.41777008 0.47666292 23.936462 27.310774
    Oben rechts KachelX + 1 74252 KachelY 55193 0.41781802 0.47666292 23.939209 27.310774
    Unten links KachelX 74251 KachelY + 1 55194 0.41777008 0.47662033 23.936462 27.308333
    Unten rechts KachelX + 1 74252 KachelY + 1 55194 0.41781802 0.47662033 23.939209 27.308333
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47666292-0.47662033) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dl = 271.340890000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47666292-0.47662033) × R
    4.2590000000009e-05 × 6371000     		dr = 271.340890000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41777008-0.41781802) × cos(0.47666292) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888530975141496 × 6371000     		do = 271.380230595649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41777008-0.41781802) × cos(0.47662033) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.888550515336195 × 6371000     		du = 271.386198674075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47666292)-sin(0.47662033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.888530975141496-0.888550515336195)×R²
    abs(0.41781802-0.41777008)×1.95401946990748e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95401946990748e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95401946990748e-05×40589641000000     		ar = 73637.3630011783m²