Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7425 / 7307
↖ ↑ ↗
← S 80.260827°
E146.293945°		 ← 826.62 m → S 80.260827°
E146.337891°		 →
↑
826.32 m
↓
↑
826.32 m
↓
S 80.268259°
E146.293945°		 ← 825.99 m →
682 789 m²		 S 80.268259°
E146.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90643310546875 y=0.89202880859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90643310546875 × 213)
    floor (0.90643310546875 × 8192)
    floor (7425.5)     		tx = 7425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.89202880859375 × 213)
    floor (0.89202880859375 × 8192)
    floor (7307.5)     		ty = 7307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7425 / 7307 ti = "13/7425/7307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7425/7307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7425 ÷ 213
    7425 ÷ 8192     		x = 0.9063720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7307 ÷ 213
    7307 ÷ 8192     		y = 0.8919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9063720703125 × 2 - 1) × π
    0.812744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55331102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8919677734375 × 2 - 1) × π
    -0.783935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.46280615488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55331102} λ = 2.55331102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.46280615488))-π/2
    2×atan(0.0851955433273014)-π/2
    2×0.0849903119781416-π/2
    0.169980623956283-1.57079632675     		φ = -1.40081570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55331102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.293945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40081570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.260827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7425 KachelY 7307 2.55331102 -1.40081570 146.293945 -80.260827
    Oben rechts KachelX + 1 7426 KachelY 7307 2.55407801 -1.40081570 146.337891 -80.260827
    Unten links KachelX 7425 KachelY + 1 7308 2.55331102 -1.40094540 146.293945 -80.268259
    Unten rechts KachelX + 1 7426 KachelY + 1 7308 2.55407801 -1.40094540 146.337891 -80.268259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40081570--1.40094540) × R
    0.000129699999999788 × 6371000     		dl = 826.318699998651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40081570--1.40094540) × R
    0.000129699999999788 × 6371000     		dr = 826.318699998651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55331102-2.55407801) × cos(-1.40081570) × R
    0.000766989999999801 × 0.169163255099412 × 6371000     		do = 826.615110957621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55331102-2.55407801) × cos(-1.40094540) × R
    0.000766989999999801 × 0.169035422907582 × 6371000     		du = 825.990459809995m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40081570)-sin(-1.40094540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169163255099412-0.169035422907582)×R²
    abs(2.55407801-2.55331102)×0.000127832191830601×R²
    0.000766989999999801×0.000127832191830601×6371000²
    0.000766989999999801×0.000127832191830601×40589641000000     		ar = 682789.44438089m²