Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 7425 / 5380
↖ ↑ ↗
← N 76.174498°
W 98.426513°		 ← 291.91 m → N 76.174498°
W 98.415528°		 →
↑
291.98 m
↓
↑
291.98 m
↓
N 76.171872°
W 98.426513°		 ← 291.97 m →
85 242 m²		 N 76.171872°
W 98.415528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226608276367188 y=0.164199829101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226608276367188 × 215)
    floor (0.226608276367188 × 32768)
    floor (7425.5)     		tx = 7425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.164199829101562 × 215)
    floor (0.164199829101562 × 32768)
    floor (5380.5)     		ty = 5380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7425 / 5380 ti = "15/7425/5380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7425/5380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7425 ÷ 215
    7425 ÷ 32768     		x = 0.226593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5380 ÷ 215
    5380 ÷ 32768     		y = 0.1641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.54681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71786673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1641845703125 × 2 - 1) × π
    0.671630859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.10999057367639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71786673} λ = -1.71786673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10999057367639))-π/2
    2×atan(8.24816353440156)-π/2
    2×1.45014606102286-π/2
    2.90029212204572-1.57079632675     		φ = 1.32949580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71786673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.426513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32949580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.174498°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7425 KachelY 5380 -1.71786673 1.32949580 -98.426513 76.174498
    Oben rechts KachelX + 1 7426 KachelY 5380 -1.71767499 1.32949580 -98.415528 76.174498
    Unten links KachelX 7425 KachelY + 1 5381 -1.71786673 1.32944997 -98.426513 76.171872
    Unten rechts KachelX + 1 7426 KachelY + 1 5381 -1.71767499 1.32944997 -98.415528 76.171872
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32949580-1.32944997) × R
    4.58299999999134e-05 × 6371000     		dl = 291.982929999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32949580-1.32944997) × R
    4.58299999999134e-05 × 6371000     		dr = 291.982929999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71786673--1.71767499) × cos(1.32949580) × R
    0.000191739999999996 × 0.238965676112716 × 6371000     		do = 291.914624838849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71786673--1.71767499) × cos(1.32944997) × R
    0.000191739999999996 × 0.23901017807566 × 6371000     		du = 291.968987348265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32949580)-sin(1.32944997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238965676112716-0.23901017807566)×R²
    abs(-1.71767499--1.71786673)×4.45019629448928e-05×R²
    0.000191739999999996×4.45019629448928e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.45019629448928e-05×40589641000000     		ar = 85242.0239473038m²