Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7425 / 5373
↖ ↑ ↗
← N 76.192863°
W 98.426513°		 ← 291.53 m → N 76.192863°
W 98.415528°		 →
↑
291.54 m
↓
↑
291.54 m
↓
N 76.190241°
W 98.426513°		 ← 291.59 m →
85 001 m²		 N 76.190241°
W 98.415528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7425 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.226608276367188 y=0.163986206054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.226608276367188 × 215)
    floor (0.226608276367188 × 32768)
    floor (7425.5)     		tx = 7425
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163986206054688 × 215)
    floor (0.163986206054688 × 32768)
    floor (5373.5)     		ty = 5373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7425 / 5373 ti = "15/7425/5373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7425/5373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7425 ÷ 215
    7425 ÷ 32768     		x = 0.226593017578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5373 ÷ 215
    5373 ÷ 32768     		y = 0.163970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.226593017578125 × 2 - 1) × π
    -0.54681396484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.71786673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163970947265625 × 2 - 1) × π
    0.67205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.11133280686575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.71786673} λ = -1.71786673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11133280686575))-π/2
    2×atan(8.25924192647826)-π/2
    2×1.4503063303881-π/2
    2.9006126607762-1.57079632675     		φ = 1.32981633
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.71786673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.426513°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32981633 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.192863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7425 KachelY 5373 -1.71786673 1.32981633 -98.426513 76.192863
    Oben rechts KachelX + 1 7426 KachelY 5373 -1.71767499 1.32981633 -98.415528 76.192863
    Unten links KachelX 7425 KachelY + 1 5374 -1.71786673 1.32977057 -98.426513 76.190241
    Unten rechts KachelX + 1 7426 KachelY + 1 5374 -1.71767499 1.32977057 -98.415528 76.190241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32981633-1.32977057) × R
    4.57600000001168e-05 × 6371000     		dl = 291.536960000744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32981633-1.32977057) × R
    4.57600000001168e-05 × 6371000     		dr = 291.536960000744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.71786673--1.71767499) × cos(1.32981633) × R
    0.000191739999999996 × 0.238654420232838 × 6371000     		do = 291.534402269309m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.71786673--1.71767499) × cos(1.32977057) × R
    0.000191739999999996 × 0.238698857727649 × 6371000     		du = 291.588686026029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32981633)-sin(1.32977057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.238654420232838-0.238698857727649)×R²
    abs(-1.71767499--1.71786673)×4.44374948111725e-05×R²
    0.000191739999999996×4.44374948111725e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.44374948111725e-05×40589641000000     		ar = 85000.9662487348m²