Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74249 / 77399
↖ ↑ ↗
← S 30.956413°
E 23.930969°		 ← 261.87 m → S 30.956413°
E 23.933716°		 →
↑
261.85 m
↓
↑
261.85 m
↓
S 30.958768°
E 23.930969°		 ← 261.86 m →
68 568 m²		 S 30.958768°
E 23.933716°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566478729248047 y=0.590511322021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566478729248047 × 217)
    floor (0.566478729248047 × 131072)
    floor (74249.5)     		tx = 74249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590511322021484 × 217)
    floor (0.590511322021484 × 131072)
    floor (77399.5)     		ty = 77399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74249 / 77399 ti = "17/74249/77399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74249/77399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74249 ÷ 217
    74249 ÷ 131072     		x = 0.566474914550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77399 ÷ 217
    77399 ÷ 131072     		y = 0.590507507324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566474914550781 × 2 - 1) × π
    0.132949829101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.41767421
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590507507324219 × 2 - 1) × π
    -0.181015014648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.568675440192726
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41767421} λ = 0.41767421}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.568675440192726))-π/2
    2×atan(0.566275007280246)-π/2
    2×0.515252495545941-π/2
    1.03050499109188-1.57079632675     		φ = -0.54029134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41767421} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.930969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54029134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.956413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74249 KachelY 77399 0.41767421 -0.54029134 23.930969 -30.956413
    Oben rechts KachelX + 1 74250 KachelY 77399 0.41772214 -0.54029134 23.933716 -30.956413
    Unten links KachelX 74249 KachelY + 1 77400 0.41767421 -0.54033244 23.930969 -30.958768
    Unten rechts KachelX + 1 74250 KachelY + 1 77400 0.41772214 -0.54033244 23.933716 -30.958768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54029134--0.54033244) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dl = 261.848100000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54029134--0.54033244) × R
    4.11000000000161e-05 × 6371000     		dr = 261.848100000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41767421-0.41772214) × cos(-0.54029134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.857558856585409 × 6371000     		do = 261.86591329156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41767421-0.41772214) × cos(-0.54033244) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.85753771460249 × 6371000     		du = 261.859457332737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54029134)-sin(-0.54033244))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.857558856585409-0.85753771460249)×R²
    abs(0.41772214-0.41767421)×2.11419829196924e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.11419829196924e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.11419829196924e-05×40589641000000     		ar = 68568.2466195935m²