Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74248 / 77480
↖ ↑ ↗
← S 31.147006°
E 23.928223°		 ← 261.40 m → S 31.147006°
E 23.930969°		 →
↑
261.40 m
↓
↑
261.40 m
↓
S 31.149357°
E 23.928223°		 ← 261.39 m →
68 329 m²		 S 31.149357°
E 23.930969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77480 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566471099853516 y=0.591129302978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566471099853516 × 217)
    floor (0.566471099853516 × 131072)
    floor (74248.5)     		tx = 74248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591129302978516 × 217)
    floor (0.591129302978516 × 131072)
    floor (77480.5)     		ty = 77480
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74248 / 77480 ti = "17/74248/77480"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74248/77480.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74248 ÷ 217
    74248 ÷ 131072     		x = 0.56646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77480 ÷ 217
    77480 ÷ 131072     		y = 0.59112548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56646728515625 × 2 - 1) × π
    0.1329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41762627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59112548828125 × 2 - 1) × π
    -0.1822509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.572558329061951
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41762627} λ = 0.41762627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572558329061951))-π/2
    2×atan(0.564080487652674)-π/2
    2×0.513589257292573-π/2
    1.02717851458515-1.57079632675     		φ = -0.54361781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41762627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54361781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.147006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74248 KachelY 77480 0.41762627 -0.54361781 23.928223 -31.147006
    Oben rechts KachelX + 1 74249 KachelY 77480 0.41767421 -0.54361781 23.930969 -31.147006
    Unten links KachelX 74248 KachelY + 1 77481 0.41762627 -0.54365884 23.928223 -31.149357
    Unten rechts KachelX + 1 74249 KachelY + 1 77481 0.41767421 -0.54365884 23.930969 -31.149357
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54361781--0.54365884) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dl = 261.402129999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54361781--0.54365884) × R
    4.10299999999975e-05 × 6371000     		dr = 261.402129999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41762627-0.41767421) × cos(-0.54361781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855843026014397 × 6371000     		do = 261.396489544115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41762627-0.41767421) × cos(-0.54365884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.855821803115405 × 6371000     		du = 261.390007524486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54361781)-sin(-0.54365884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855843026014397-0.855821803115405)×R²
    abs(0.41767421-0.41762627)×2.12228989913132e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.12228989913132e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.12228989913132e-05×40589641000000     		ar = 68328.7519439179m²