Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74247 / 77479
↖ ↑ ↗
← S 31.144656°
E 23.925476°		 ← 261.40 m → S 31.144656°
E 23.928223°		 →
↑
261.34 m
↓
↑
261.34 m
↓
S 31.147006°
E 23.925476°		 ← 261.40 m →
68 314 m²		 S 31.147006°
E 23.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566463470458984 y=0.591121673583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566463470458984 × 217)
    floor (0.566463470458984 × 131072)
    floor (74247.5)     		tx = 74247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591121673583984 × 217)
    floor (0.591121673583984 × 131072)
    floor (77479.5)     		ty = 77479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74247 / 77479 ti = "17/74247/77479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74247/77479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74247 ÷ 217
    74247 ÷ 131072     		x = 0.566459655761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77479 ÷ 217
    77479 ÷ 131072     		y = 0.591117858886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566459655761719 × 2 - 1) × π
    0.132919311523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.41757833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591117858886719 × 2 - 1) × π
    -0.182235717773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.572510392162331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41757833} λ = 0.41757833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.572510392162331))-π/2
    2×atan(0.564107528570512)-π/2
    2×0.513609770777466-π/2
    1.02721954155493-1.57079632675     		φ = -0.54357679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41757833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.925476°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54357679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.144656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74247 KachelY 77479 0.41757833 -0.54357679 23.925476 -31.144656
    Oben rechts KachelX + 1 74248 KachelY 77479 0.41762627 -0.54357679 23.928223 -31.144656
    Unten links KachelX 74247 KachelY + 1 77480 0.41757833 -0.54361781 23.925476 -31.147006
    Unten rechts KachelX + 1 74248 KachelY + 1 77480 0.41762627 -0.54361781 23.928223 -31.147006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54357679--0.54361781) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dl = 261.338419999664m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54357679--0.54361781) × R
    4.10199999999472e-05 × 6371000     		dr = 261.338419999664m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41757833-0.41762627) × cos(-0.54357679) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855864242300604 × 6371000     		do = 261.402969544333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41757833-0.41762627) × cos(-0.54361781) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.855843026014397 × 6371000     		du = 261.396489544418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54357679)-sin(-0.54361781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.855864242300604-0.855843026014397)×R²
    abs(0.41762627-0.41757833)×2.12162862076593e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.12162862076593e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.12162862076593e-05×40589641000000     		ar = 68313.7923170386m²