Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74245 / 76285
↖ ↑ ↗
← S 28.297126°
E 23.919983°		 ← 268.93 m → S 28.297126°
E 23.922730°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
S 28.299544°
E 23.919983°		 ← 268.92 m →
72 319 m²		 S 28.299544°
E 23.922730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566448211669922 y=0.582012176513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566448211669922 × 217)
    floor (0.566448211669922 × 131072)
    floor (74245.5)     		tx = 74245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582012176513672 × 217)
    floor (0.582012176513672 × 131072)
    floor (76285.5)     		ty = 76285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74245 / 76285 ti = "17/74245/76285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74245/76285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74245 ÷ 217
    74245 ÷ 131072     		x = 0.566444396972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76285 ÷ 217
    76285 ÷ 131072     		y = 0.582008361816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566444396972656 × 2 - 1) × π
    0.132888793945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.41748246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582008361816406 × 2 - 1) × π
    -0.164016723632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.515273734015984
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41748246} λ = 0.41748246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515273734015984))-π/2
    2×atan(0.59733706076433)-π/2
    2×0.538459156159674-π/2
    1.07691831231935-1.57079632675     		φ = -0.49387801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41748246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.919983°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49387801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.297126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74245 KachelY 76285 0.41748246 -0.49387801 23.919983 -28.297126
    Oben rechts KachelX + 1 74246 KachelY 76285 0.41753040 -0.49387801 23.922730 -28.297126
    Unten links KachelX 74245 KachelY + 1 76286 0.41748246 -0.49392022 23.919983 -28.299544
    Unten rechts KachelX + 1 74246 KachelY + 1 76286 0.41753040 -0.49392022 23.922730 -28.299544
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49387801--0.49392022) × R
    4.22100000000425e-05 × 6371000     		dl = 268.919910000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49387801--0.49392022) × R
    4.22100000000425e-05 × 6371000     		dr = 268.919910000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41748246-0.41753040) × cos(-0.49387801) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880501136607456 × 6371000     		do = 268.927711219308m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41748246-0.41753040) × cos(-0.49392022) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.880481126424298 × 6371000     		du = 268.92159959431m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49387801)-sin(-0.49392022))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880501136607456-0.880481126424298)×R²
    abs(0.41753040-0.41748246)×2.00101831573374e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.00101831573374e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.00101831573374e-05×40589641000000     		ar = 72319.1941396075m²