Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 74244 / 73219
↖ ↑ ↗
← S 20.640495°
E 23.917236°		 ← 285.82 m → S 20.640495°
E 23.919983°		 →
↑
285.80 m
↓
↑
285.80 m
↓
S 20.643065°
E 23.917236°		 ← 285.82 m →
81 688 m²		 S 20.643065°
E 23.919983°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 74244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 73219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566440582275391 y=0.558620452880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566440582275391 × 217)
    floor (0.566440582275391 × 131072)
    floor (74244.5)     		tx = 74244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.558620452880859 × 217)
    floor (0.558620452880859 × 131072)
    floor (73219.5)     		ty = 73219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 74244 / 73219 ti = "17/74244/73219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/74244/73219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 74244 ÷ 217
    74244 ÷ 131072     		x = 0.566436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 73219 ÷ 217
    73219 ÷ 131072     		y = 0.558616638183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566436767578125 × 2 - 1) × π
    0.13287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41743452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.558616638183594 × 2 - 1) × π
    -0.117233276367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.368299199780891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41743452} λ = 0.41743452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.368299199780891))-π/2
    2×atan(0.69191013135587)-π/2
    2×0.605275862395254-π/2
    1.21055172479051-1.57079632675     		φ = -0.36024460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41743452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.917236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.36024460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.640495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 74244 KachelY 73219 0.41743452 -0.36024460 23.917236 -20.640495
    Oben rechts KachelX + 1 74245 KachelY 73219 0.41748246 -0.36024460 23.919983 -20.640495
    Unten links KachelX 74244 KachelY + 1 73220 0.41743452 -0.36028946 23.917236 -20.643065
    Unten rechts KachelX + 1 74245 KachelY + 1 73220 0.41748246 -0.36028946 23.919983 -20.643065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.36024460--0.36028946) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dl = 285.803059999872m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.36024460--0.36028946) × R
    4.48599999999799e-05 × 6371000     		dr = 285.803059999872m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41743452-0.41748246) × cos(-0.36024460) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935810629404375 × 6371000     		do = 285.82065398584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41743452-0.41748246) × cos(-0.36028946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.935794815171759 × 6371000     		du = 285.815823912141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.36024460)-sin(-0.36028946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.935810629404375-0.935794815171759)×R²
    abs(0.41748246-0.41743452)×1.58142326159849e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.58142326159849e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.58142326159849e-05×40589641000000     		ar = 81687.7273090632m²